[논문 리뷰] Quaternionic Computing

José M. Fernandez, William Alan Schneeberger|ArXiv.org|2003. 07. 02.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 복소수 대신 허수를 사용하는 양자 유사 계산을 가능하게 하는 허수 계산 모델을 제안한다. 이 모델은 초월성, 유니타리성, 그리고 사영 측정을 유지한다. 주요 결과는 특정 게이트 평가 순서가 정의된 임의의 허수 회로가 표준 양자 회로를 사용해 단 한 개의 추가 큐비트만으로 시뮬레이션될 수 있음을 보여주며, 이는 이 모델이 양자 계산보다 더 강력하지 않다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

We introduce a model of computation based on quaternions, which is inspired on the quantum computing model. Pure states are vectors of a suitable linear space over the quaternions. Other aspects of the theory are the same as in quantum computing: superposition and linearity of the state space, unitarity of the transformations, and projective measurements. However, one notable exception is the fact that quaternionic circuits do not have a uniquely defined behaviour, unless a total ordering of evaluation of the gates is defined. Given such an ordering a unique unitary operator can be associated with the quaternionic circuit and a proper semantics of computation can be associated with it. The main result of this paper consists in showing that this model is no more powerful than quantum computing, as long as such an ordering of gates can be defined. More concretely we show, that for all quaternionic computation using n quaterbits, the behaviour of the circuit for each possible gate ordering can be simulated with n+1 qubits, and this with little or no overhead in circuit size. The proof of this result is inspired of a new simplified and improved proof of the equivalence of a similar model based on real amplitudes to quantum computing, which states that any quantum computation using n qubits can be simulated with n+1 rebits, and in this with no circuit size overhead. Beyond this potential computational equivalence, however, we propose this model as a simpler framework in which to discuss the possibility of a quaternionic quantum mechanics or information theory. In particular, it already allows us to illustrate that the introduction of quaternions might violate some of the ``natural'' properties that we have come to expect from physical models.

연구 동기 및 목표

• 복소수 대신 허수를 확률 진폭 값으로 사용하는 양자 계산에 영감을 받은 허수 기반의 계산 모델을 제안한다.
• 표준 양자 계산보다 허수 계산이 어떤 계산적 우월성을 제공하는지 조사한다.
• 특히 물리적 타당성과 정보 이론적 성질에 관해 허수 진폭의 기초적 함의를 탐색한다.
• 허수 회로가 표준 양자 회로를 사용해 효율적으로 시뮬레이션될 수 있음을 보여주며, 최소한의 오버헤드로 수행됨을 보여준다.
• 비표준 양자 이론(예: 허수 양자역학)의 자연스러움과 일관성을 연구하기 위한 단순화된 프레임워크로 이 모델을 활용한다.

제안 방법

• 유한 차원 허수 힐버트 공간 상의 사영 상태로 구성된 순수 상태 기반의 계산 모델을 정의한다.
• 초월성, 선형성, 유니타리 변환, 사영 측정을 포함한 양자 계산과 동일한 구조 원칙을 채택한다.
• 게이트 평가 순서의 전체 순서를 도입하여 회로 행동의 비유일성을 해결하고, 각 회로에 대해 유일한 유니타리 연산자를 정의한다.
• 고정된 게이트 순서가 있는 $n$-쿼터비트 회로는 크기 오버헤드가 없거나 최소한의 오버헤드로 $(n+1)$-큐비트 양자 회로로 시뮬레이션될 수 있음을 증명한다.
• 실수 진폭 양자 계산(리브릿)에서 사용된 간소화된 증명 기법을 허수 사례로 일반화하여, 표준 양자 계산과의 동치성을 보여준다.
• 군 이론적 및 대수적 구조(예: 항등원의 제곱근)를 사용해 모델의 대칭성과 일관성을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 허수 기반의 계산 모델이 표준 양자 계산보다 더 강력한 계산 능력을 가질 수 있는가?
• RQ2 허수 진폭의 비가환성은 양자 회로의 의미론과 결정론에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 게이트 평가 순서의 전체 순서 요구 조건이 허수 회로의 물리적 실현 가능성과 일관성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 허수 계산이 표준 양자 회로로 얼마나 잘 시뮬레이어질 수 있으며, 회로 크기 오버헤드는 어느 정도인가?
• RQ5 허수 모델에서 발생하는 기초적 또는 정보 이론적 이상 현상은 무엇이며, 이러한 현상들은 물리적 타당성을 어떻게 도전하는가?

주요 결과

• 게이트 평가 순서의 전체 순서가 명시되지 않은 한, 허수 회로는 고유하게 정의된 행동을 갖지 못한다.
• 고정된 게이트 순서가 있으면 각 허수 회로에 대해 유일한 유니타리 연산자를 부여할 수 있으며, 이는 계산의 잘 정의된 의미론을 가능하게 한다.
• $n$개의 쿼터큐비트를 사용하는 모든 계산은 크기 오버헤드가 없거나 최소한의 오버헤드로 $(n+1)$-큐비트 양자 회로로 시뮬레이션될 수 있다.
• 이 모델은 표준 양자 계산과 계산적으로 동치이며, 따라서 허수를 사용함으로써 추가적인 계산 능력이 얻어지지 않는다.
• 리브릿 시뮬레이션에 사용된 증명 기법($n$ 큐비트에 대해 $n+1$ 리브릿)이 허수 사례로 일반화되어 동치성이 입증되었다.
• 이 모델은 인과성 위반과 비국소성 등의 기초적 문제를 드러내며, 허수 진폭이 물리적으로 자연스럽지 않을 수 있음을 시사한다.