[논문 리뷰] Quenched and annealed equilibrium states for random Ruelle expanding maps and applications

Manuel Stadlbauer, Paulo Varandas외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 09.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 21인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 편의성과 안정성의 평형 상태가 존재함을 입증한다. 이는 폴란드 공간 위의 무작위 루엘 확장 맵에 대해 전이 연산자의 군 작용을 이용하여 이루어지며, 상관관계의 지수적 감쇠, 편의성 조건 측도의 호일더 연속성, 그리고 안정성 상태가 편의성 상태로부터 어떻게 유도되는지를 보여준다. 이는 이전 결과를 컴팩트한 위상공간과 정적 난수성 조건을 초월하여 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we describe the spectral properties of semigroups of expanding maps acting on Polish spaces, considering both sequences of transfer operators along infinite compositions of dynamics and integrated transfer operators. We prove that there exists a limiting behaviour for such transfer operators, and that these semigroup actions admit equilibrium states with exponential decay of correlations and several limit theorems. The reformulation of these results in terms of quenched and annealed equilibrium states extend results by Baladi (1997) and Carvalho, Rodrigues & Varandas (2017), where the randomness is driven by a random walk and the phase space is assumed to be compact. Furthermore, we prove that the quenched equilibrium measures vary Hölder continuously and that the annealed equilibrium states can be recovered from the latter. Finally, we give some applications in the context of weighted non-autonomous iterated function systems, free semigroup actions and on the boundary of equilibria.

연구 동기 및 목표

• 비자기적이고 비정적 동역학을 위한 열역학 체계를 비콤팩트 폴란드 공간 위의 루엘 확장 맵에 대해 확장한다.
• 위상공간이 비콤팩트이고 기준 측도 P를 가정하지 않을 경우, 편의성 및 안정성 평형 상태의 존재를 확립한다.
• 일반적인 조건 하에서 편의성 평형 측도의 상관관계 지수적 감쇠 및 호일더 연속성을 증명한다.
• 정적 측도가 존재하지 않을 경우, 경로에 대한 통합을 통해 안정성 평형 상태가 편의성 측도로부터 복원될 수 있음을 보여준다.
• 이 틀을 비자기적 반복 함수계, 자유 군 작용, 경계 평형 상태에 적용한다.

제안 방법

• 무한한 루엘 확장 맵의 조합에 따른 전이 연산자 군 작용을 분석한다.
• 바세르슈타인 거리에서의 수축을 이용하여 전이 연산자의 수렴성과 평형 상태의 존재를 증명한다.
• 루엘 연산자 이론의 재구성 방식을 수열 맵에 적용하여 비정적 동역학을 다룰 수 있도록 한다.
• 형평성 평형 상태를 일반적인 무작위 궤도를 따라 조건부 측도로 정의하고, 안정성 상태를 모든 경로에 대한 평균으로 정의한다.
• 작은 균일 노름을 갖는 공간 H의 호메오모르피즘을 통한 코드화 방법을 도입하여 초기 자료로부터 동역학을 재구성한다.
• 편미분의 주기성과 부호 패턴을 이용하여 군 단어(S^m T^n)의 지수를 재귀적으로 재구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비콤팩트 폴란드 공간 위의 무작위 루엘 확장 맵에 대해 편의성 및 안정성 평형 상태를 구성할 수 있는가?
• RQ2 이 평형 상태들은 편의성 설정에서 상관관계의 지수적 감쇠와 호일더 연속성을 보이는가?
• RQ3 정적 측도가 존재하지 않을 경우, 안정성 평형 상태는 어떻게 편의성 측도로부터 복원될 수 있는가?
• RQ4 전이 연산자 군 작용은 비자기적 동역학의 통계적 성질을 묘사하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 열역학 체계는 가중치가 있는 비자기적 IFS와 자유 군 작용으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 무한한 루엘 확장 맵의 조합에 따른 전이 연산자 군 작용은 수렴 행동을 보이며, 이는 평형 상태의 존재를 보장한다.
• 적절한 정규성 조건 하에서 편의성 평형 측도는 존재하며, 무작위 경로에 대해 호일더 연속적으로 변한다.
• 편의성 및 안정성 평형 상태 모두에서 상관관계의 지수적 감쇠가 성립하여 강력한 통계적 안정성을 나타낸다.
• 안정성 평형 상태는 경로 공간에 대해 편의성 측도를 통합하여 얻어지며, 안정성 압력은 편의성 압력의 평균과 같다.
• 이 구성은 {S,T}^N의 무한한 단어와 고유한 최대 엔트로피 측도 사이의 전단사 대응을 이끌어내며, 군이 자유임을 증명한다.
• 비자기적 등각 IFS 및 군 작용의 경우, 이 틀은 불변 측도의 구성과 경계 평형 상태의 묘사를 가능하게 한다.