[논문 리뷰] Quenches in quantum many-body systems: One-dimensional Bose-Hubbard model reexamined

Guillaume Roux|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|2008. 10. 21.

Quantum many-body systems인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 냉각된 양자 다체계에서 시간 평균 밀도 행렬 $\overline{\rho}$ 를 계산하기 위해 Lanczos 대각화 방법을 도입하며, 일차원 보즈-허브하르드 모형에 적용한다. 이는 영구적인(비섭동적) 및 비영구적인(비섭동적) 쿨링 영역 간의 전이를 드러내며, 유한한 시스템에서도 초기 상태의 기억이 에너지 변동성과 엔트로피를 통해 $\overline{\rho}$ 에 유지된다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

When a quantum many-body system undergoes a quench, the time-averaged density-matrix $ρ$ governs the time-averaged expectation value of any observable. It is therefore the key object to look at when comparing results with equilibrium predictions. We show that the weights of $ρ$ can be efficiently computed with Lanczos diagonalization for relatively large Hilbert spaces. As an application, we investigate the crossover from perturbative to non-perturbative quenches in the non-integrable Bose-Hubbard model: on finite systems, an approximate Boltzmann distribution is observed for small quenches, while for larger ones the distributions do not follow standard equilibrium predictions. Studying thermodynamical features, such as the energy fluctuations and the entropy, shows that $ρ$ bears a memory of the initial state.

연구 동기 및 목표

• 냉각 이후 고립된 양자 다체계에서 시간 평균 밀도 행렬 $\overline{\rho}$ 를 체계적으로 계산하는 방법을 개발하는 것.
• 비가역 모형에서 $\overline{\rho}$ 가 평형 통계 역학 계열(예: 미크로canonical 또는 캐논ical 분포)을 따르는지 조사하는 것.
• 에너지 변동성과 엔트로피와 같은 열역학적 특성들이 $\overline{\rho}$ 에서 초기 상태의 기억을 어떻게 코딩하는지 규명하는 것.
• $(U_i, U_f)$ 매개변수 공간에서 냉각된 1D 보즈-허브하르드 시스템의 상도도를 그려내고 유한한 크기의 척도 분석을 수행하는 것.
• 평형 임계점 $U_c$ 가 비평형 역학에서 수행하는 역할과 쿨링 영역 간 전이의 본질을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 냉각 후 해밀토니안 $\mathcal{H}$ 의 고유상태와 고유값을 계산하기 위해 Lanczos 대각화(LD)를 사용하여 큰 하이르베르트 공간에 접근할 수 있다.
• 시작 상태 $|\psi_0\rangle$ 와 냉각 후 고유상태 $|\phi_n\rangle$ 간의 오버랩으로부터 $p_n = |\langle\psi_0|\phi_n\rangle|^2$ 를 얻어 시간 평균 밀도 행렬 $\overline{\rho} = \sum_n p_n |\phi_n\rangle\!\langle\phi_n|$ 을 구성한다.
• 직접 시간 진동을 피하기 위해 대각 행렬에 기반한 진동 평균에 초점을 맞추며, 이 경우 시간 평균 관측량은 $\overline{O} = \text{Tr}[\overline{\rho} O]$ 로 기술된다.
• 에너지 변동성 $\Delta E$ 와 엔트로피 $S[\overline{\rho}]$ 를 계산하여 $\overline{\rho}$ 의 열역학적 특성을 정량화하고 평형 계열에서의 이격도를 평가한다.
• 유한한 크기 척도 분석을 통해 $\Delta F_c$, $\lambda_c$, 상대 에너지 변동성을 적용하여 수렴성과 임계 행동을 분석한다.
• 상대 에너지 변동성 $\Delta E/E$ 는 초기 상태 상관관계에 대한 영향을 분리하기 위해 재스케일링되며, 슈퍼유체 영역에서는 $1/\sqrt{L}$ 스케일링을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 냉각된 1D 보즈-허브하르드 모형에서 시간 평균 밀도 행렬 $\overline{\rho}$ 는 미크로canonical 또는 캐논ical 분포와 같은 표준 평형 계열을 따르는가?
• RQ2 에너지 변동성과 엔트로피가 $\overline{\rho}$ 에서 초기 상태의 기억을 어떻게 반영하는가, 특히 비가역 시스템에서 어떻게 되는가?
• RQ3 1D 보즈-허브하르드 모형에서 영구적인 쿨링 영역과 비영구적인 쿨링 영역 간의 전이의 본질은 무엇인가?
• RQ4 유한한 크기 효과는 임계점 $\Delta F_c$ 와 $\lambda_c$ 의 척도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 평형 임계점 $U_c$ 는 냉각 이후 비평형 역학을 얼마나 제어하는가?

주요 결과

• 작은 쿨링에서는 $\overline{\rho}$ 의 가중치 $p_n$ 이 근사적으로 버틀츠만 분포를 따르며, 이는 영구적인 영역임을 시사한다.
• 큰 쿨링에서는 $p_n$ 의 분포가 평형 계열에서 크게 이격되며, 이는 비영구적인 영역에서 비평형 통계를 나타낸다.
• 상대 에너지 변동성 $\Delta E/E$ 는 $f(U_i, L)/\sqrt{L}$ 으로 스케일링되며, $f$ 는 시스템 크기 $L$ 에 거의 의존하지 않으며, 슈퍼유체 영역에서는 $1/\sqrt{L}$ 스케일링과 일치한다.
• 에너지 변동성 $\Delta E$ 는 초기 상태의 밀도-밀도 상관관계에 의존하며, $\Delta E$ 는 $\sqrt{L} g(L)$ 으로 스케일링되며, 여기서 $g(L)$ 은 멱함수 상관관계의 지수 $\alpha$ 에 따라 달라진다.
• 시간 평균 밀도 행렬 $\overline{\rho}$ 의 입자당 엔트로피 $s$ 는 쿨링 강도 $\lambda$ 와 함께 연속적으로 증가하며, 동일한 평균 에너지를 가진 두 상태가 서로 다른 엔트로피를 가질 수 있음을 확인하여 초기 상태의 기억이 유지됨을 증명한다.
• 유한한 크기 척도 분석 결과, 전이점 $\lambda_c(L)$ 는 큰 $U_{i,f}$ 에서 평형 임계점 $\lambda_c^{eq}$ 에서 벗어나며, 이는 $U_c$ 가 비평형 전이를 제어하지 않는다는 것을 시사한다.