[논문 리뷰] Queueing networks with a single shared server: light and heavy traffic

Marko Boon, R.D. van der Mei외 1명|TU/e Research Portal|2014. 08. 01.

Advanced Queuing Theory Analysis참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 단일 공유 서버, 게이팅 서비스 및 고객 라우팅이 있는 대기열 네트워크에서 평균 대기 시간에 대한 폐쇄형 근사법을 제안한다. 경량 및 고부하 조건에서 정확한 근사 극한을 유도하고 그 사이를 보간함으로써, 수치 예제를 통해 검증된 바와 같이 모든 부하 조건에서 정확하고 확장 가능한 추정치를 제공한다. 이는 스위치오버 시간이 있는 터널 대기열을 포함한다.

ABSTRACT

We study a queueing network with a single shared server, that serves the queues in a cyclic order according to the gated service discipline. External customers arrive at the queues according to independent Poisson processes. After completing service, a customer either leaves the system or is routed to another queue. This model is very generic and finds many applications in computer systems, communication networks, manufacturing systems and robotics. Special cases of the introduced network include well-known polling models and tandem queues. We derive exact limits of the mean delays under both heavy-traffic and light-traffic conditions. By interpolating between these asymptotic regimes, we develop simple closed-form approximations for the mean delays for arbitrary loads.

연구 동기 및 목표

• 단일 공유 서버, 게이팅 서비스 및 확률적 고객 라우팅을 갖는 일반화된 대기열 네트워크를 분석하기 위해.
• 경량 부하 및 고부하 조건 하에서 평균 대기 시간에 대한 정확한 渐近 표현을 도출하기 위해.
• 경량 및 고부하 근사 극한을 보간하여 모든 시스템 부하 수준에서 평균 지연 시간을 정확하게 추정할 수 있는 단순한 폐쇄형 근사법을 개발하기 위해.
• 스위치오버 시간이 있는 터널 대기열 구성 포함 수치 예제를 통해 근사의 정확성을 검증하기 위해.

제안 방법

• 각 고객이 서비스 후 다른 대기열로 라우팅되거나 퇴출되는, 게이팅 서비스 및 고객 라우팅이 있는 풀링 네트워크로 시스템을 모델링한다.
• 라우팅 확률과 서비스 시간 모멘트를 기반으로 선형 방정식을 사용하여 총 제공 부하와 효과적 서비스 시간을 유도한다.
• 사이클 시간 분석과 길이 기반 표본 추출을 사용하여 고부하 극한을 수립하여, ρ→1일 때 평균 대기 시간에 대한 폐쇄형 표현을 도출한다.
• 고객의 기원(외부 또는 라우팅된)에 조건부로 경량 부하 극한을 도출하여, ρ↓0일 때 폐쇄형 표현을 얻는다.
• 보간 기반 근사법을 구성한다: $ W_i^{\text{approx}} = \frac{w_i^{\text{LT}} + (w_i^{\text{HT}} - w_i^{\text{LT}})\rho}{1 - \rho} $, ρ=0 및 ρ→1에서 정확성을 보장한다.
• 정적 스위치오버 시간과 라우팅 확률이 있는 3대기열 터널 모델을 사용하여 근사의 수치적 검증을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고부하 조건에서 고객 라우팅이 있는 단일 서버 대기열 네트워크에서 평균 대기 시간은 어떻게 행동하는가?
• RQ2 시스템 부하가 근처에 있을 때 평균 대기 시간의 정확한 경량 부하 극한은 무엇인가?
• RQ3 경량 및 고부하 극한을 조합하여 모든 부하 수준에서 평균 대기 시간을 정확하게 추정할 수 있는 단순한 폐쇄형 근사법을 구성할 수 있는가?
• RQ4 라우팅 구조는 서비스 시간 및 스위치오버 시간과 같은 시스템 파라미터에 대한 평균 대기 시간의 의존성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 제안된 보간 근사법은 평균 대기 시간에 대한 의사-보존 법칙과 같은 구조적 성질을 만족하는가?

주요 결과

• 대기열 $ i $ 에서의 고부하 근사 극한은 $ \rho \uparrow 1 $ 일 때 $ (1 - \rho)\mathbb{E}[W_i] \to \left(r + \frac{\tilde{b}^{(2)}}{2\delta\tilde{b}^{(1)}}\right)\frac{\delta_i}{\tilde{b}_i\hat{\gamma}_i} $ 로 수렴하며, 방문 순서에 민감하지 않으며 총 스위치오버 시간과 효과적 서비스 시간 모멘트에만 의존함을 보여준다.
• 대기열 $ i $ 에서의 경량 부하 근사 극한은 $ \rho \downarrow 0 $ 일 때 $ \mathbb{E}[W_i] \to \frac{\lambda_i}{\gamma_i}\frac{r^{(2)}}{2r} + \sum_{j=i-N}^{i-1}\frac{\gamma_j p_{j,i}}{\gamma_i}\sum_{k=j}^{i-1}r_k $ 로 수렴하며 잔여 스위치오버 및 라우팅 지연을 반영한다.
• 제안된 보간 근사법 $ W_i^{\text{approx}} $ 는 $ \rho \downarrow 0 $ 과 $ \rho \uparrow 1 $ 에서 정확하며, 평균 대기 시간에 대한 의사-보존 법칙을 만족한다.
• 수치 결과는 모든 부하 수준에서 높은 정확도를 보이며, 3대기열 예제에서 $ \rho = 0.1 $ 및 $ \rho = 0.9 $ 에서 상대 오차가 2% 이하, $ \rho = 0.01 $ 및 $ \rho = 0.99 $ 에서는 1% 이하임을 보여준다.
• 수치 예제에서 $ p_{1,3} = p_{2,3} = p_{3,0} = 1 $ 이라 할 때, 터널 대기열 및 피드백 시스템과 같은 특수 케이스로의 일반화가 잘 이루어짐을 보여준다.
• 스위치오버 시간이 도입된 경우에도 근사법은 강건하게 유지되며, $ r_1 = 0, r_2 = r_3 = 2 $ 인 예제에서 이를 입증한다.