[논문 리뷰] Quiver Hall-Littlewood functions and Kostka-Shoji polynomials

Daniel L. Orr, Mark Shimozono|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 18.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 32인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 퀘이버 표현 이론으로의 고전적 대칭 함수 이론의 일반화로서, 퀘이버 할름-리틀우드 함수와 퀘이버 코스타-쇼지 다항식을 도입한다. 대칭 함수의 텐서 곱 위에 작용하는 퀘이버 전류를 정의함으로써, 저자들은 이러한 다항식을 슈어 기저에서의 전개 계수로 구성하며, 이들이 루슈티그의 컨볼루션 다이어그램 위의 벡터(bundle)의 에르고도믹 오일러 특성에서의 등급이 부여된 중복도로 나타남을 보이며, 고차 코hom로지의 소멸을 통한 양의 성질을 추측한다.

ABSTRACT

For any triple $(i,a,μ)$ consisting of a vertex $i$ in a quiver $Q$, a positive integer $a$, and a dominant $GL_a$-weight $μ$, we define a quiver current $H^{(i,a)}_μ$ acting on the tensor power $Λ^Q$ of symmetric functions over the vertices of $Q$. These provide a quiver generalization of parabolic Garsia-Jing creation operators in the theory of Hall-Littlewood symmetric functions. For a triple $(\mathbf{i},\mathbf{a},μ(\bullet))$ of sequences of such data, we define the quiver Hall-Littlewood function $H^{\mathbf{i},\mathbf{a}}_{μ(\bullet)}$ as the result of acting on $1\inΛ^Q$ by the corresponding sequence of quiver currents. The quiver Kostka-Shoji polynomials are the expansion coefficients of $H^{\mathbf{i},\mathbf{a}}_{μ(\bullet)}$ in the tensor Schur basis. These polynomials include the Kostka-Foulkes polynomials and parabolic Kostka polynomials (Jordan quiver) and the Kostka-Shoji polynomials (cyclic quiver) as special cases. We show that the quiver Kostka-Shoji polynomials are graded multiplicities in the equivariant Euler characteristic of a vector bundle on Lusztig's convolution diagram determined by the sequences $\mathbf{i},\mathbf{a}$. For certain compositions of currents we conjecture higher cohomology vanishing of the associated vector bundle on Lusztig's convolution diagram. For quivers with no branching we propose an explicit positive formula for the quiver Kostka-Shoji polynomials in terms of catabolizable multitableaux. We also relate our constructions to $K$-theoretic Hall algebras, by realizing the quiver Kostka-Shoji polynomials as natural structure constants and showing that the quiver currents provide a symmetric function lifting of the corresponding shuffle product. In the case of a cyclic quiver, we explain how the quiver currents arise in Saito's vertex representation of the quantum toroidal algebra of type $\mathfrak{sl}_r$.

연구 동기 및 목표

• 퀘이버 전류를 사용하여 파라볼릭 가르시아-징 생성 연산자를 퀘이버 표현으로 일반화한다.
• 이러한 전류가 진공 벡터에 작용하는 조합으로서 퀘이버 할름-리틀우드 함수를 정의한다.
• 이 함수들의 텐서 슈어 기저에서의 전개 계수를 퀘이버 코스타-쇼지 다항식으로 식별한다.
• 이 다항식을 루슈티그의 컨볼루션 다이어그램 위의 벡터 번들의 에르고도믹 오일러 특성에서의 등급이 부여된 중복도로 해석한다.
• 분기하지 않는 퀘이버에 대해, 이 다항식의 양의 조합론적 공식을 카타볼리자블 다중테이블로우를 통해 제안한다.

제안 방법

• 퀘이버 정점 위에서의 대칭 함수의 텐서 곱인 $ \Lambda^Q $ 위에 작용하는 퀘이버 전류 $ H^{(i,a)}_{\nu} $ 를 정의한다. 여기서 $ i $ 는 정점, $ a $ 는 정수, $ \nu $ 는 $ GL_a $-중량의 다수성일 것이다.
• 진공 $ 1 \in \Lambda^Q $ 에 이러한 전류의 조합을 작용시켜 퀘이버 할름-리틀우드 함수 $ H^{\mathbf{i},\mathbf{a}}_{\mu(\bullet)} $ 를 구성한다.
• 이 함수들을 텐서 슈어 기저 $ s_{\lambda^{\bullet}} $ 에서 전개하며, 계수 $ \mathcal{K}^{\mathbf{i},\mathbf{a}}_{\lambda^{\bullet},\mu(\bullet)}(t_{Q_1}) $ 는 퀘이버 코스타-쇼지 다항식이라 불린다.
• 이 다항식을 $ \mathbf{i}, \mathbf{a} $ 와 무게 자료 $ \mu(\bullet) $ 를 갖는 루슈티그의 컨볼루션 다이어그램 위의 벡터 번들의 에르고도믹 오일러 특성에서의 등급이 부여된 중복도로 실현한다.
• 관련된 벡터 번들의 고차 코hom로지 소멸을 추측함으로써, 다항식의 비음성 성질을 유도한다.
• 분기하지 않는 퀘이버에 대해, 카타볼리자블 다중테이블로우를 통해 양의 공식을 제안한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 파라볼릭 가르시아-징 생성 연산자는 어떻게 퀘이버 표현으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 퀘이버 코스타-쇼지 다항식의 기하학적 및 표현론적 해석은 무엇인가?
• RQ3 분기하지 않는 퀘이버에 대해 퀘이버 코스타-쇼지 다항식은 양의 조합론적 공식으로 표현될 수 있는가?
• RQ4 이 다항식들은 K-이론적 할름 대수와 셔플 곱과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 퀘이버 전류는 양자 토로이드 대수의 맥락에서 어떻게 유도되는가?

주요 결과

• 퀘이버 코스타-쇼지 다항식은 퀘이버 할름-리틀우드 함수의 텐서 슈어 기저에서의 전개 계수로 식별되며, 화살표 변수 $ t_{Q_1} $ 에 대해 정수 계수를 가진다.
• 이 다항식들은 고전적 코스타-풀크스 다항식과 파라볼릭 코스타 다항식을 일반화하며, 순환 퀘이버의 코스타-쇼지 다항식을 특수한 경우로 포함한다.
• 단일 고리 퀘이버의 경우, $ \mu(\bullet) $ 가 단일 행 무게로 구성되어 있을 때, 다항식들은 고전적 코스타-풀크스 다항식을 복원한다.
• 퀘이버 코스타-쇼지 다항식은 루슈티그의 컨볼루션 다이어그램 위의 벡터 번들의 에르고도믹 오일러 특성에서의 등급이 부여된 중복도로 나타남을 보였다.
• 관련된 벡터 번들의 고차 코호몰로지 소멸을 추측함으로써, 다항식의 음이 아닌 성질이 유도된다.
• 분기하지 않는 퀘이버에 대해, 카타볼리자블 다중테이블로우를 통해 양의 공식을 제안하였으며, 이는 단일 고리의 경우에 대해 S.와 W.의 추측을 일반화한다.