[논문 리뷰] Quiver varieties and Beilinson-Drinfeld Grassmannians of type A

Ivan Mirković, Maxim Vybornov|ArXiv.org|2007. 12. 26.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 28인용 수 33

한 줄 요약

이 논문은 아핀 그라스만이안 내의 노름화된 궤도에 대한 횡단 자르기와 함께, A형 나카지마 퀼러 다양체를 베일린슨-드라빈 그라스만이안 내에서 구성하며, 퀄러 다양체의 기하적 컴actsification과 아핀 그라스만이안의 퀄러 다양체들의 분해를 제공한다. 주요 기여는 아핀 그라스만이안 기하학에서 자연스럽게 유도되는, 슬로도위의 것과 다른 새로운 횡단 자르기로서, 이는 스프링거와 컨볼루션 그라스만이안의 코homology 사이의 동형사상에 의한 스케일 및 대칭 $(GL(m),GL(n))$ dualit의 기하적 실현을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We construct Nakajima's quiver varieties of type A in terms of conjugacy classes of matrices and (non-Slodowy's) transverse slices naturally arising from affine Grassmannians. In full generality quiver varieties are embedded into Beilinson-Drinfeld Grassmannians of type A. Our construction provides a compactification of Nakajima's quiver varieties and a decomposition of an affine Grassmannian into a disjoint union of quiver varieties. As an application we provide a geometric version of skew and symmetric $(GL(m), GL(n))$ duality.

연구 동기 및 목표

• 행렬의 공轭류와 아핀 그라스만이안에서의 횡단 자르기를 사용하여 나카지마의 A형 퀄러 다양체를 구성하는 것.
• 퀄러 다양체를 A형 베일린슨-드라빈 그라스만이안에 매장하여 기하적 컴actsification을 제공하는 것.
• 아핀 그라스만이안을 퀄러 다양체들의 서로소 합집합으로 분해하는 것.
• 코homology와 기약 성분 사이의 동형사상에 의한 스케일 및 대칭 $(GL(m),GL(n))$ dualit의 기하적 실현을 제공하는 것.
• 슬로도위의 것과 다른, 아핀 그라스만이안의 구조에서 자연스럽게 유도되는 새로운 횡단 자르기를 도입하는 것.

제안 방법

• 정수 $v=(v_1,\dots,v_{n-1})$, $d=(d_1,\dots,d_{n-1})$, 그리고 중심 원소 $c=(c_1,\dots,c_{n-1})$를 갖는 퀄러 자료로부터 퀄러 다양체 ${\mathfrak{M}}(v,d)$ 와 ${\mathfrak{M}}_0(v,d)$ 를 구성하는 것.
• 자기의 $\mathfrak{sl}(2)$-삼중체 $\{x,h,y\}$ 를 사용하여 $\mathfrak{gl}(N,\mathbb{C})$ 내의 노름화된 궤도 $\mathcal{O}_\lambda$ 에 대한 새로운 횡단 자르기 $T_\lambda$ 를 정의하며, $h$-고유값이 음이 아니고 $y$-작용이 가능한 한 정규적이게 하는 조건을 요구하는 것.
• 퀄러 다양체, 횡단 자르기, 컨볼루션 그라스만이안 사이를 연결하는 교환 다이어그램을 만드는 대칭적 대수적 동형사상 $\phi$, $\widetilde{\phi}$, $\psi$, $\widetilde{\psi}$ 를 확립하는 것.
• GL(m)에 대한 아핀 그라스만이안 $\mathcal{G}$ 와 그 해소 $\pi: \widetilde{\mathcal{G}} \to \mathcal{G}$ 를 사용하며, 루프 군의 부분군인 $L^{<0}G$ 와 $L^{\geq 0}G$ 를 고려하는 것.
• 기하적 사타케 대응을 활용하여 $\pi^{-1}(L_\lambda)$ 의 기약 성분을 표현 이론의 무게 공간과 식별하는 것.
• 코homology와 퀄러 다양체의 기약 성분 사이의 동형사상을 구성하여, dualit의 기하적 실현을 이끌어내는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 나카지마의 A형 퀄러 다양체는 어떻게 공轭류와 아핀 그라스만이안에서의 횡단 자르기를 사용하여 구성할 수 있는가?
• RQ2 새로운 횡단 자르기 $T_\lambda$ 는 노름화된 궤도에 대해 어떤 성질을 가지며, 슬로도위의 자르기와 어떻게 다를까?
• RQ3 이 구성에 의해 GL(m)에 대한 아핀 그라스만이안은 퀄러 다양체들의 서로소 합집합으로 분해될 수 있는가?
• RQ4 이 구성은 어떻게 스케일 $(GL(m),GL(n))$ dualit의 기하적 형태를 제공하는가?
• RQ5 코homology와 기약 성분 사이의 동형사상에 의해 $\mathfrak{gl}(m)$ 과 $\mathfrak{gl}(n)$ 사이의 기하적 대칭 dualit를 어떻게 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $\mathfrak{gl}(N,\mathbb{C})$ 내의 노름화된 궤도 $\mathcal{O}_\lambda$ 에 대한 새로운 횡단 자르기 $T_\lambda$ 를 구성하며, 이는 $x + C$ 로 정의되며, $C$ 는 $[\mathfrak{gl}(N),x]$ 의 보완이며, $h$ 가 음이 아닌 고유값을 갖도록 한다. 이는 슬로도위의 자르기와 다름: 슬로도위의 자르기에서는 $y$ 가 $C$ 에 자명하게 작용하지만, 본 논문의 자르기에서는 그렇지 않다.
• 교환 다이어그램을 이루는 대칭적 대수적 동형사상 $\phi$, $\widetilde{\phi}$, $\psi$, $\widetilde{\psi}$ 가 존재하며, 이는 퀄러 다양체를 아핀 그라스만이안 내의 횡단 자르기와 궤도의 교차로 식별한다.
• GL(m)에 대한 아핀 그라스만이안 $\mathcal{G}$ 는 퀄러 다양체 $\mathfrak{M}_0(v,d)$ 의 서로소 합집합으로 분해되며, 각 성분은 두 분할 $\lambda$, $\mu$ 와 대응된다.
• 이 구성은 $\operatorname{Hom}_{GL(m)}(\wedge^{a_1}V \otimes \cdots \otimes \wedge^{a_n}V, V_\lambda)$ 와 $\pi^{-1}(L_\lambda)$ 의 코homology 사이의 동형사상에 의해 스케일 $(GL(m),GL(n))$ dualit의 기하적 실현을 제공하며, 이는 $\mathcal{H}(\mathfrak{L}(v,d))$ 와 동형이다.
• 코homology와 기약 성분 사이의 동형사상에 의해 $\operatorname{Hom}_{\mathfrak{gl}(n)}(\wedge^{c_1}W \otimes \cdots \otimes \wedge^{c_m}W, W_{\check{\lambda}})$ 와 $\operatorname{Hom}_{\mathfrak{gl}(m)}(\operatorname{Sym}^{c_1}V \otimes \cdots \otimes \operatorname{Sym}^{c_m}V, V_\lambda)$ 사이의 기하적 대칭 dualit가 실현되며, 이는 $\pi^{-1}(L_\lambda)$ 와 스파르텐슈타인 섬유의 기약 성분 사이의 동형사상에 의해 이루어진다.
• 동형사상 $\phi$ 는 간단한 공식으로 명시적으로 주어지며, 특히 $c=0$ 인 경우 이는 이전의 존재성 기반 접근보다 더 구체적인 구성이 된다.