[논문 리뷰] Quiver varieties and elliptic quantum groups

Yaping Yang, Gufang Zhao|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 04.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 23인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 타원 곡선의 색상이 부여된 하이버트 스킴 위의 코herent sheaf의 모나이드 범주 안에서, 사전프로젝티브 대수의 타원형 코homological Hall 대수를 통해 구성된, sheafified 타원형 양자군을 대수적 구조물로 도입한다. 이 군이 나카지마 퀼러 다양체의 등급형 타원형 코homology 위에 작용하며, 다이내믹 타원형 양자군의 교환관계를 만족하는 드린펠드 전류를 실현함으로써 기하학적 표현 이론 분야에서 오랫동안 열려있던 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We define a sheafified elliptic quantum group for any symmetric Kac-Moody Lie algebra. This definition is naturally obtained from the elliptic cohomological Hall algebra of a preprojective algebra. The sheafified elliptic quantum group is an algebra object in a certain monoidal category of coherent sheaves on the colored Hilbert scheme of an elliptic curve. We show that the elliptic quantum group acts on the equivariant elliptic cohomology of Nakajima quiver varieties. This action is compatible with the action induced by Hecke correspondence, a construction similar to that of Nakajima. The elliptic Drinfeld currents are obtained as generating series of certain rational sections of the sheafified elliptic quantum group. We show that the Drinfeld currents satisfy the commutation relations of the dynamical elliptic quantum group studied by Felder and Gautam-Toledano Laredo.

연구 동기 및 목표

• 대칭 Kac-Moody 리 대수에 대해 잘 수렴하는 전류를 갖는 내재적이고 기하학적으로 유도된 타원형 양자군을 정의하기.
• 등급형 타원형 코homology 위에 작용하는 타원형 양자군의 드린펠드 실현을 구성하는 열린 문제를 해결하기.
• 타원 곡선 위의 sheafified 구조를 통한 타원형 양자군의 최고 무게 표현의 기하학적 구성 제공하기.
• 새로운 작용이 타원 설정에서 헤이크 대응 구조와 호환됨을 확립하기.

제안 방법

• 타원 곡선의 색상이 부여된 하이버트 스킴 위의 코herent sheaf의 모나이드 범주 안에서 sheafified 타원형 양자군을 대수적 구조물로 구성하기.
• 사전프로젝티브 코homological Hall 대수를 기초로 삼아, 유리형/삼각함수형 구성의 일반화로서 타원형 사례로 확장하기.
• Drinfeld 전류를 sheafified 양자군의 유리형 섹션의 생성함수로 정의하고, 고전적 타원형 전류를 변형함.
• 잔류 계산과 타원 함수 항등식을 통해 Drinfeld 전류가 다이내믹 타원형 양자군의 교환관계를 만족함을 증명하기.
• 안정한 막대 기법을 사용하여, 나카지마 퀄러 다양체의 등급형 타원형 코homology 위에 sheafified 타원형 양자군의 작용을 확립하기.
• 상승 및 하강 연산자가 Drinfeld 듀얼 관계를 만족함을 보여주며, 전체 양자군의 표현을 유도하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 잘 수렴하는 드린펠드 전류를 갖는 기하학적 내재적 정의로 타원형 양자군을 구성할 수 있는가?
• RQ2 사전프로젝티브 대수의 타원형 코homological Hall 대수가 자연스럽게 타원 곡선의 색상이 부여된 하이버트 스킴 위에 sheafified 양자군의 구조를 유도하는가?
• RQ3 나카지마 퀄러 다양체의 등급형 타원형 코homology 위에 헤이크 대응과 호환되는 타원형 양자군의 기하학적 작용이 존재하는가?
• RQ4 이 구성에서의 드린펠드 전류가 Felder 및 Gautam-Toledano Laredo가 정의한 다이내믹 타원형 R-행렬 교환관계를 만족하는가?
• RQ5 사전프로젝티브 대수의 표현 모듈리 공간의 기하학으로부터 양자군의 작용을 재구성할 수 있는가?

주요 결과

• Sheafified 타원형 양자군은 타원 곡선의 색상이 부여된 하이버트 스킴 위의 코herent sheaf의 모나이드 범주 안에서 대수적 구조물로 정의된다.
• Sheafified 타원형 양자군의 유리형 섹션의 공간은 결합법칙을 만족하는 대수를 이룬다. 이는 타원형 양자군의 새로운 실현을 제공한다.
• Drinfeld 전류는 유리형 섹션의 생성함수로 명시적으로 구성되며, 다이내믹 타원형 양자군의 교환관계를 만족한다.
• 나카지마 퀄러 다양체의 등급형 타원형 코homology 위에 sheafified 타원형 양자군의 작용은 기하학적으로 실현되었고, 헤이크 대응과 호환된다.
• 상승 및 하강 연산자는 Drinfeld 듀얼 관계를 만족하며, 교환자 표현이 타원 함수와 잔류항을 통해 기술된다.
• Drinfeld 전류 간의 교환관계는 명시적으로 계산되어 다음과 같다: $ \vartheta(\hbar)[\mathfrak{X}^{+}(u,\lambda_{1}),\mathfrak{X}^{-}(v,\lambda_{2})] = \frac{\vartheta(u-v+\lambda_{1})}{\vartheta(u-v)\vartheta(\lambda_{1})}\Phi(v) + \frac{\vartheta(u-v-\lambda_{2})}{\vartheta(u-v)\vartheta(\lambda_{2})}\Phi(u) $, 이는 [GTL17]의 관계와 일치한다.