[논문 리뷰] Résolutions de Demazure affines et formule de Casselman-Shalika géométrique

B. C. Ngô, Patrick Polo|ArXiv.org|2000. 05. 02.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 10인용 수 50

한 줄 요약

이 논문은 Frenkel, Gaitsgory, Kazhdan, Vilonen이 제기한 기하적 추측을 증명한다. 이는 아핀 그라스만이의 구면 펄스르 복소수의 푸리에 계수에 관한 것으로, 계수의 컴팩트 코호몰로지 $ \mathrm{R}\Gamma_c(S_\nu \otimes_k \overline{k}, \mathcal{A}_\lambda) $ 는 $ 2\langle\rho,\nu\rangle $ 차수에 집중되어 있으며, 프로베니우스 작용소는 $ q^{\langle\rho,\nu\rangle} $ 로 주어진다. 이 결과는 윌리엄슨-샬리카 공식에 대한 기하적 증명을 제공한다.

ABSTRACT

We prove a conjecture of Frenkel, Gaitsgory, Kazhdan and Vilonen, related to Fourier coefficients of spherical perverse sheaves on the affine Grassmannian associated to a a split reductive group. Our proof is an extension of the proof given by the first author in the case of GL(n) (see math/9801109); it relies on the study of certain resolutions of Schubert varieties in the affine Grassmannian, built from the so-called minuscule or quasi-minuscule cases.

연구 동기 및 목표

• 아핀 그라스만이의 구면 펄스르 복소수의 푸리에 계수에 관한 Frenkel, Gaitsgory, Kazhdan, Vilonen의 기하적 추측을 증명하기 위해.
• $ \ell $-adic 코호몰로지를 통해 윌리엄슨-샬리카 공식의 기하적 해석을 제시하기 위해.
• $ S_\nu \cap \overline{\mathcal{Q}}_\mu $ 의 컴팩트 코호몰로지가 $ \mathcal{A}_\lambda \otimes h^*\mathcal{L}_\psi $ 계수를 가지며, $ \nu \neq \lambda $ 일 때는 0이 되고, $ \nu = \lambda $ 일 때는 차수 $ 2\langle\rho,\nu\rangle $ 에서 1차원이 되도록 보장하기 위해.

제안 방법

• 최소 및 준최소 $ \lambda $ 에 대해 $ \overline{\mathcal{Q}}_\lambda $ 의 기하학을 연구하기 위해 아핀 데모르르 해상법을 사용하기 위해.
• $ \psi $ 가 비자명한 덧셈적 특성일 때, $ \theta(x) = \psi(h(x)) $ 를 만족하는 $ h: S_\nu \to \mathbb{G}_a $ 의 사상 구축하기 위해.
• 분할 및 스펙트럴 시퀀스의 방법을 통해 $ \mathrm{R}\Gamma_c(S_\nu \otimes_k \overline{k}, \mathcal{A}_\lambda \otimes h^*\mathcal{L}_\psi) $ 의 컴팩트 코호몰로지 계산하기 위해.
• 레프셰츠 추적 공식과 교차 코호몰로지의 성질을 적용하여 프로베니우스 고유값 제어하기 위해.
• 미르코비치-비론엔 동치관계와 사타케 동형을 사용하여 코호몰로지 데이터를 Langlands 쌍대군 $ G^\vee $ 의 표현 이론과 연결하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계수 $ \mathcal{A}_\lambda $ 를 가진 $ S_\nu $ 의 $ \ell $-adic 코호몰로지는 무엇인가요?
• RQ2 $ \mathcal{A}_\mu \otimes h^*\mathcal{L}_\psi $ 계수를 가진 $ S_\nu \cap \overline{\mathcal{Q}}_\mu $ 의 코호몰로지에 프로베니우스 작용소는 어떻게 작용합니까?
• RQ3 윌리엄슨-샬리카 공식의 윌리엄슨 함수에 대해 $ S_\nu $ 의 코호몰로지로부터 기하학적으로 유도할 수 있습니까?
• RQ4 $ \mathrm{H}^{2\langle\rho,\nu\rangle}_c(S_\nu \cap \overline{\mathcal{Q}}_\mu, \mathcal{A}_\mu \otimes h^*\mathcal{L}_\psi) $ 의 차원은 무엇입니까?
• RQ5 0에서 $ \nu $ 로 향하는 $ \mu_\bullet $-강한 경로의 수는 코호몰로지의 차원과 어떻게 관련이 있습니까?

주요 결과

• $ \mathrm{R}\Gamma_c(S_\nu \otimes_k \overline{k}, \mathcal{A}_\lambda) $ 의 컴팩트 코호몰로지는 $ 2\langle\rho,\nu\rangle $ 차수에 집중되어 있으며, 프로베니우스 작용소는 $ q^{\langle\rho,\nu\rangle} $ 로 곱하기 작용한다.
• $ \nu \neq \lambda $ 일 때, 복소수 $ \mathrm{R}\Gamma_c(S_\nu \otimes_k \overline{k}, \mathcal{A}_\lambda \otimes h^*\mathcal{L}_\psi) $ 는 0이다.
• $ \nu = \lambda $ 일 때, 복소수 $ \mathrm{R}\Gamma_c(S_\nu \otimes_k \overline{k}, \mathcal{A}_\lambda \otimes h^*\mathcal{L}_\psi) $ 는 차수 $ 2\langle\rho,\nu\rangle $ 에서 $ \overline{\mathbb{Q}}_\ell(-\langle\rho,\nu\rangle) $ 와 동형이다.
• $ \mathrm{H}^{2\langle\rho,\nu\rangle}_c(S_\nu \cap \overline{\mathcal{Q}}_\mu, \mathcal{A}_\mu \otimes h^*\mathcal{L}_\psi) $ 의 차원은 0에서 $ \nu $ 로 향하는 $ \mu_\bullet $-강한 경로의 수와 같다.
• 이 결과는 캐슬먼-샬리카 공식에 대한 기하적 증명을 제공하며, 윌리엄슨 함수의 값은 $ (-1)^{2\langle\rho,\nu\rangle} q^{\langle\rho,\nu\rangle} $ 로 복구된다.