[논문 리뷰] Radial positive definite functions and Schoenberg matrices with negative eigenvalues

Leonid Golinskiĭ, M. M. Malamud외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 25.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 R^n에서 정의된 radial positive definite 함수 중 R^{n+1}로 확장될 수 없는 함수들에 대해 연구하며, Schoenberg의 적분 표현을 통해 클래스 Φ_n \ Φ_{n+1}를 특성화한다. f ∈ Φ_n \ Φ_{n+1}인 함수에 대해 representing measure ν_n 에 대한 필요 및 충분 조건을 증명하고, 이러한 함수들이 무한히 많은 음의 제곱수(즉, Schoenberg 행렬에서 임의로 많은 음의 고유값을 가짐)를 가짐을 보이며, Ω_n 및 Ω_n²(a·)와 같은 명시적 예를 제공한다.

ABSTRACT

The main object under consideration is a class $Φ_n\backslashΦ_{n+1}$ of radial positive definite functions on $\R^n$ which do not admit \emph{radial positive definite continuation} on $\R^{n+1}$. We find certain necessary and sufficient conditions for the Schoenberg representation measure $ν_n$ of $f\in Φ_n$ in order that the inclusion $f\in Φ_{n+k}$, $k\in\N$, holds. We show that the class $Φ_n\backslashΦ_{n+k}$ is rich enough by giving a number of examples. In particular, we give a direct proof of $Ω_n\inΦ_n\backslashΦ_{n+1}$, which avoids Schoenberg's theorem, $Ω_n$ is the Schoenberg kernel. We show that $Ω_n(a\cdot)Ω_n(b\cdot)\inΦ_n\backslashΦ_{n+1}$, for $a ot=b$. Moreover, for the square of this function we prove surprisingly much stronger result: $Ω_n^2(a\cdot)\inΦ_{2n-1}\backslashΦ_{2n}$. We also show that any $f\inΦ_n\backslashΦ_{n+1}$, $n\ge2$, has infinitely many negative squares. The latter means that for an arbitrary positive integer $N$ there is a finite Schoenberg matrix $\kS_X(f) := \|f(|x_i-x_j|_{n+1})\|_{i,j=1}^{m}$, $X := \{x_j\}_{j=1}^m \subset\R^{n+1}$, which has at least $N$ negative eigenvalues.

연구 동기 및 목표

• R^{n+1}로 radial positive definite 확장을 허용하지 않는 R^n 상의 radial positive definite 함수들로 이루어진 클래스 Φ_n \ Φ_{n+1}를 특성화하는 것.
• 함수 f ∈ Φ_n 가 Φ_n \ Φ_{n+1}에 속하기 위한 Schoenberg 측도 ν_n 에 대한 필요 및 충분 조건을 규명하는 것.
• Φ_n \ Φ_{n+1}에 속하는 함수들이 무한히 많은 음의 제곱수를 가짐을 보이며, 즉 그 Schoenberg 행렬이 임의로 많은 음의 고유값을 가질 수 있음을 증명하는 것.
• Φ_n \ Φ_{n+1}에 속하는 함수들에 대한 명시적 예를 제공하며, 이는 Schoenberg 커널 Ω_n 및 a ≠ b 인 경우의 Ω_n(a·)Ω_n(b·)와 같은 곱 형태를 포함한다.
• m < n 인 경우에 대해 Schoenberg 측도 ν_n 과 ν_m 사이의 전이 공식을 수립하여, 비확장 가능성에 대한 구조적 제약 조건을 드러내는 것.

제안 방법

• Schoenberg의 적분 표현 f(r) = ∫₀^∞ Ω_n(rt) ν_n(dt) 를 활용하며, 여기서 Ω_n 는 Bessel 함수를 포함하는 Schoenberg 커널이다.
• m < n 인 경우 전이 공식 ν_m(dx) = p_m(x) dx 를 적용하며, p_m(x) = [2x^{m-1} / B(m/2, (n−m)/2)] ∫_x^∞ (1 − x²/u²)^{(n−m)/2 − 1} ν_n(du)/u^m 이다.
• Bessel 함수 J_{2k}(x) ∼ √(2/πx) cos(x − kπ − π/4) 의 점근 전개를 활용하여 푸리에 계수의 부호 진동을 분석한다.
• Schoenberg 행렬 S_X(Ω_n) 가 적어도 하나의 음의 고유값을 가짐을 보이기 위해 R^{n+1} 내의 유한 집합 X ⊂ R^{n+1} 을 구성함으로써, Ω_n ∈ Φ_n \ Φ_{n+1} 를 직접 증명한다.
• r → ∞ 일 때 ∫ J_{2k}(2rs) ν(ds) 의 행동을 분석함으로써 Schoenberg 행렬의 음의 고유값 수를 분석하며, 특정 측도 조건 하에 무한히 증가함을 보인다.
• Stieltjes 모멘트 문제 이론과 하 Hankel 변환의 성질을 활용하여, ν_n 에 대한 비확장 가능성 조건을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 radial positive definite 함수 f ∈ Φ_n 가 Φ_{n+1} 에 속하지 않도록 하기 위한 Schoenberg 측도 ν_n 에 대한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ2 Schoenberg의 정리에 의존하지 않고, Schoenberg 커널 Ω_n 이 Φ_n \ Φ_{n+1} 에 속함을 증명할 수 있는가?
• RQ3 f = Ω_n²(a·) 의 최대 확장 가능 클래스는 무엇이며, 그 비확장 가능성은 차원과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 Φ_n \ Φ_{n+1} 에 속하는 함수들의 Schoenberg 행렬은 최대 몇 개의 음의 고유값을 가질 수 있으며, 이 수를 임의로 크게 만들 수 있는가?
• RQ5 측도 ν_n 에서 특수 성분이 있거나, 0 < ε 일 때 ν_n((0,ε)) = 0 인 경우, f ∉ Φ_{n+1} 가 되는 구조적 성질은 무엇인가?

주요 결과

• Schoenberg 커널 Ω_n 는 Φ_n \ Φ_{n+1} 에 속하며, 이는 R^{n+1} 내의 유한 집합 X ⊂ R^{n+1} 을 구성함으로써 Schoenberg 행렬 S_X(Ω_n) 가 적어도 하나의 음의 고유값을 가짐을 직접 증명함으로써 입증된다.
• a ≠ b 일 때, 곱 Ω_n(a·)Ω_n(b·) 는 Φ_n \ Φ_{n+1} 에 속하며, 이는 클래스 Φ_n \ Φ_{n+1} 가 커널에 국한되지 않고 매우 풍부함을 보여준다.
• 커널의 제곱은 Ω_n²(a·) ∈ Φ_{2n−1} \ Φ_{2n} 를 만족하며, 원래 커널보다 더 강한 비확장 가능성 성질을 가짐을 나타낸다.
• n ≥ 2 인 모든 f ∈ Φ_n \ Φ_{n+1} 는 무한히 많은 음의 제곱수를 가진다: 모든 N ∈ ℕ 에 대해, 적어도 N 개의 음의 고유값을 가진 유한 Schoenberg 행렬 S_X(f) 가 존재한다.
• 만약 Schoenberg 측도 ν_n(f) 가 특수 성분을 가지거나, 어떤 ε > 0 에 대해 ν_n((0,ε)) = 0 이라면, f ∉ Φ_{n+1} 이다. 이는 확장에 대한 측도론적 장벽을 제공한다.
• 조건 ∫_a^∞ ν(ds)/s^{3/2} < ∞ 이고, x → 0 일 때 ∫_x^∞ ν(ds)/s^{3/2} = o(x^{-1}) 이면, r → ∞ 일 때 S_X(f) 의 음의 고유값 수는 무한히 증가하며, 이는 κ⁻(f) = ∞ 를 의미한다.