[논문 리뷰] Radial symmetry for p-harmonic functions in exterior and punctured domains

Giorgio Poggesi|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 22.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $p$-조화 함수의 외부 및 구멍이 있는 영역에서 Serrin 유형의 과다조건을 만족할 때, $P$-함수 최대원리, 적분 항등식, 등면적부등식 및 비 soapy bubble 유형 정리(정리 A)를 사용하여 원형 대칭성을 확립한다. 핵심 결과는 도메인의 미리 연속성 또는 별형 조건을 가정하지 않더라도 유일한 해를 갖는 도메인은 구임을 보여준다.

ABSTRACT

We prove symmetry for the p-capacitary potential satisfying $$ \\Delta_p u = 0 \\, \\mbox{ in } \\mathbb{R}^N \\setminus \\overline{\\Omega} , \\; u=1 \\, \\mbox{ on } \\Gamma, \\; \\lim_{|x|\ ightarrow \\infty} u(x)=0 , \\; \\; \\; \\; \\; \\; \\; \\; 1<p<N, $$ under Serrin's overdetermined condition $$ | \ abla u| = c \\mbox{ on } \\Gamma. $$ Here $\\Omega$ is any bounded domain on which no a priori assumption is made, and $\\Gamma$ denotes its boundary. Our result improves on a work of Garofalo and Sartori, where the same conclusion was obtained when $\\Omega$ is star-shaped. Our proof uses the maximum principle for an appropriate $P$-function, some integral identities, the isoperimetric inequality, and a Soap Bubble-type Theorem. We then treat the case $1<p=N$, improving previous results present in the literature. Finally, with analogous tools we give a new proof of symmetry for the interior overdetermined problem $$ - \\Delta_p u = K \\, \\delta_0 \\, \\mbox{ in } \\Omega , \\, u=c \\, \\mbox{ on } \\Gamma, \\; \\; \\; \\; \\; \\; \\; \\; 1<p<N, $$ $$ | \ abla u| = 1 \\mbox{ on } \\Gamma , $$ in a bounded star-shaped domain $\\Omega$.

연구 동기 및 목표

• 외부 영역에서 Serrin의 과다조건 $|\nabla u| = c$ 가 $\Gamma$ 에서 성립할 때, 도메인 $\Omega$ 의 연속성 또는 별형 조건을 가정하지 않고 $p$-조화 함수의 원형 대칭성을 증명하는 것.
• 해의 임계 경우 $p = N$ 에서의 대칭성 결과를 확장하여, $p$-용적 잠재력이 무한대에서 로그적으로 증가함을 고려하는 것.
• 내부 과다조건 문제에 대해 딜라 함수 원천을 사용한 대칭성에 대한 새로운 증명을 제시하며, 외부 경우와 유사한 도구를 사용하는 것.
• 이전 결과에서 제한적인 가정(예: $C^{2,\alpha}$ 정규성 또는 별형 조건)을 제거하면서도 강력한 대칭성 결론을 유지하고 통합 및 개선하는 것.

제안 방법

• $P$-함수 $P = u^{-\frac{p(N-1)}{N-p}} |\nabla u|^p$ 를 정의하여 $\mathbb{R}^N \setminus \overline{\Omega}$ 에서 강한 최대원리를 적용하는 것.
• 적분 항등식과 등면적부등식을 사용하여 경계에서의 $L^p$-노름과 기하 양을 비교하는 것.
• 비 soapy bubble 유형 정리(정리 A)를 적용하여, 평균 곡률가 일정하고 등면적부등식에서 등호가 성립할 경우 구형 대칭성이 유도됨을 밝히는 것.
• 약한 해 $W^{1,p}_{\text{loc}}(\mathbb{R}^N \setminus \overline{\Omega})$ 와 약한 경계 조건을 사용하여 강한 정규성 조건을 피하는 것.
• 내부 문제에서 원점 근처의 해의 점근적 전개를 사용하여 델타 원천의 상수 $K$ 와 표면 측도를 연결하는 것.
• 민코프스키 항등식과 등면적부등식의 등호 경우를 적용하여 평균 곡률가 일정함을 유추하고, 이는 구형 대칭성을 의미함을 결론짓는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 외부 영역에서의 과다조건 $p$-용적 문제에서 어떤 조건이 도메인이 구임을 보장하는가?
• RQ2 $\Omega$ 가 별형 또는 $C^{2,\alpha}$ 임을 가정하지 않고도 외부 영역에서 $p$-조화 함수의 원형 대칭성을 확립할 수 있는가?
• RQ3 잠재력이 무한대에서 로그적으로 증가하는 임계 경우 $p = N$ 에서 대칭성 결과는 어떻게 확장되는가?
• RQ4 유사한 방법을 내부 과다조건 문제에 적용하여 딜라 함수 원천이 있는 경우 대칭성을 증명할 수 있는가?
• RQ5 적분 항등식과 $P$-함수 최대원리가 강한 정규성 조건 없이 대칭성을 증명하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• $1 < p < N$ 인 경우, 외부 영역에서의 과다조건 문제 $\Delta_p u = 0$ in $\mathbb{R}^N \setminus \overline{\Omega}$, $u = 1$ on $\Gamma$, $\lim_{|x|\to\infty} u = 0$, 그리고 $|\nabla u| = c$ on $\Gamma$ 는 약한 해를 갖는다. 이는 $\Omega$ 가 구일 때에만 성립한다.
• 이 결과는 도메인 $\Omega$ 의 정규성 또는 기하학적 성질에 대한 사전 가정 없이도 성립하며, 이는 이전 결과에서 별형 조건이 필요로 했던 것을 개선한 것이다.
• 임계 경우 $p = N$ 에서도 동일한 대칭성 결론이 성립한다. 문제 $\Delta_N u = 0$ in $\mathbb{R}^N \setminus \overline{\Omega}$, $u = 1$ on $\Gamma$, 그리고 $u \sim -\ln|x|$ at infinity 에서도 동일한 과다조건을 만족할 경우 성립한다.
• 내부 문제 $-\Delta_p u = K\delta_0$ in $\Omega$, $u = c$ on $\Gamma$, $|\nabla u| = 1$ on $\Gamma$ 에서 해는 $\Omega$ 가 별형일 경우 원형 대칭이며, 일致성을 위해 $K = |\Gamma|$ 가 필요하다.
• 내부 해의 원점 근처에서의 점근적 행동은 $u(x) = \frac{p-1}{N-p}\left(\frac{|\Gamma|}{\omega_N}\right)^{\frac{1}{p-1}} |x|^{-\frac{N-p}{p-1}} + o(|x|^{-\frac{N-p}{p-1}})$ 로 표현되며, 이는 원형 해와 일치한다.
• 등면적부등식에서의 등호와 평균 곡률 조건 $H \equiv H_0$ 는 $\Gamma$ 가 구임을 의미하며, 알렉산드로프의 비 soapy bubble 정리에 의해 도메인이 반드시 구임을 확인한다.