[논문 리뷰] Radiation and Boundary Conditions in the Theory of Gravitation

Andrzej Trautman|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 11.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 2인용 수 48

한 줄 요약

이 논문은 일반 상대성 이론에서 중력파에 대한 일반화된 경계 조건 프레임워크를 제안하며, 아인슈타인의 에너지-운동량 준타ensor 형식을 확장하여 복사장이 가능한 체계를 제공한다. 영벡터장과 메트릭 도함수에 대한 점 渐진 조건을 도입함으로써 유한하고 좌표에 불변인 에너지-운동량 적분을 보장하고, 시공간 초평면 간의 총 에너지 차이를 통해 복사 에너지를 정의한다. 주요 결과로는 복사 에너지가 비음이 아니며, 파동 영역에서 잘 정의된다는 것이다.

ABSTRACT

The Sommerfeld boundary conditions, applied to an asymptotically weak gravitational field, are shown to imply that the 1/r part of the curvature tensor of a space-time, satisfying the Einstein equations, is of type null in the Petrov classification and that there is then a flux of energy carried away by the outgoing gravitational wave.

연구 동기 및 목표

• 고립된 중력 시스템에 대해 총 에너지와 운동량을 정의하는 데 발생하는 애매함을 제거하기 위해 표준 Lichnerowicz 조건을 초월하는 경계 조건을 확장한다.
• 특히 외부 복사가 존재하는 상황에서 고립된 중력 시스템의 총 복사 에너지를 일관되게 계산하는 규정을 수립한다.
• 공간 무한대에서 경계 구조를 유지하는 좌표 변환에 대해 에너지-운동량 적분이 유한하고 불변하게 유지되도록 보장한다.
• Pirani와 Lichnerowicz의 순수 복사장 정의와의 연결을 보여주며, 파동 영역에서의 일致성을 입증한다.

제안 방법

• 복사의 점 渐진 방향을 정의하기 위해 $ k^ u = n^ u + t^ u $ 라는 영벡터장을 도입한다. 여기서 $ n^ u $ 는 시공간 초평면에 수직인 단위 공간벡터이고, $ t^ u $ 는 단위 시간벡터이다.
• 일반화된 경계 조건을 제안한다: $ g_{ u au} = \bar{g}_{\nu\tau} + h_{\nu\tau} $, $ h_{\nu\tau} = O(r^{-1}) $ 이고, $ h_{\nu\tau,\rho} \to b_{\nu,\tau}k_\rho + O(r^{-2}) $ 이며, 이는 복사와 호환되는 점 渐진 행동을 보장한다.
• 아인슈타인 장의 텐서로부터 유도된 수퍼포텐셜 형식 $ \bar{\frak{A}}_{\nu}^{\rho\tau} $ 을 사용하여, 아인슈타인 방정식에 의해 발산이 없는 에너지-운동량 준타ensor $ \frak{t}_{\nu}^{\rho} $ 를 정의한다.
• 시공간 초평면 $ \tau $ 에서의 표면 적분을 통해 총 에너지-운동량 $ P_\nu[\tau] $ 를 정의하고, 복사 에너지를 $ p_\nu = P_\nu[\tau] - P_\nu[\tau'] $ 로, 이는 시간적 초평면 $ \bar{\tau} $ 에서의 유량 적분을 통해 계산한다.
• 좌표 변환에 대해 $ P_\nu $ 가 불변임을 증명하기 위해 $ g_{\nu\tau} $ 와 $ h_{\nu\tau} $ 의 변환 규칙를 사용하고, $ \frak{A}'_{\nu}{}^{\rho\tau}k'_{\rho}n'_{\tau} = \frak{A}_{\nu}{}^{\rho\tau}k_{\rho}n_{\tau} + O(r^{-3}) $ 를 도출한다.
• 준타ensor의 주요 항 행동을 유도한다: $ \frak{t}_{\nu}^{\rho} = \tau k_\nu k^\rho + O(r^{-3}) $, $ 4\tau\bar{\rho} = h^{\rho\tau}(h_{\rho\tau} - \frac{1}{2}\bar{\rho}^{\rho\tau}h_{\rho\tau}) $ 로, 복사 에너지가 음이 아니라는 것을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 상대성 이론에서의 경계 조건를 어떻게 일반화하여, 표준적인 $ O(r^{-1}) $ 감쇠를 초월하는 중력파장을 일관되게 기술할 수 있는가?
• RQ2 외부 복사가 존재하는 상황에서 총 에너지-운동량 적분 $ P_\nu[\tau] $ 의 유한성과 좌표 불변성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 제안된 형식은 Pirani와 Lichnerowicz의 순수 복사장 정의와 어떻게 관련되어 있으며, 특히 점 渐진 파동 영역에서 일致하는가?
• RQ4 두 개의 시공간 초평면 간의 총 에너지 차이로서 총 복사 에너지를 엄밀히 정의할 수 있으며, 이는 음이 아닌가?
• RQ5 영벡터장 $ k^\nu $ 는 무한대에서 중력파의 방향과 구조를 특징짓는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 제안된 경계 조건, 즉 $ h_{\nu\tau} = O(r^{-1}) $ 과 $ h_{\nu\tau,\rho} \to b_{\nu,\tau}k_\rho + O(r^{-2}) $ 는 복사장을 허용하면서도 $ P_\nu[\tau] $ 의 유한성과 허용 가능한 좌표 변환에 대한 불변성을 유지한다.
• 일반화된 경계 조건이 만족되면 총 에너지-운동량 $ P_\nu[\tau] $ 는 잘 정의되어 있으며 초평면 $ \tau $ 의 선택에 독립적이며, 무한대에서 항등함수로 감소하는 좌표 변화에 대해 불변성을 유지한다.
• 복사 에너지 $ p_\nu = P_\nu[\tau] - P_\nu[\tau'] $ 는 유량 적분 $ \bar{p}_\nu = \bar{\tau} k_\nu k^\nu $ 로 주어지며, $ \bar{\tau} \to O(r^{-2}) $ 이고, $ \tau $ 의 양성으로 인해 비음이 아니며 물리적 일치성을 보장한다.
• 파동 영역에서 곡률 텐서는 $ R_{\nu\tau\rho\theta} \to \frac{1}{2}k_{[\nu}i_{\tau][\rho}k_{\theta]} $ 로 행동하며, $ i_{\nu\tau} = O(r^{-1}) $ 이고, 와이울 텐서는 Petrov-Pirani 유형 II이며 순수 복사장과 일치한다.
• 조건 $ R_{\nu\tau} \to \rho k_\nu k_\tau + O(r^{-3}) $ 과 $ k^\nu R_{\nu\tau\rho\theta} \to 0 $, $ k^{[\nu}R^{\rho]\tau}\rho\theta \to 0 $ 는 $ r \to \infty $ 근처에서 Lichnerowicz의 순수 복사장 정의와 일치하며 기존 형식론과의 일致성을 입증한다.
• 전자기장이 존재하는 경우에도 이 형식론은 유지되며, $ \bar{\tau} = O(r^{-2}) $ 이고 복사 에너지는 여전히 음이 아니며, 이는 접근의 강건성을 확인한다.