[논문 리뷰] Radical-injectivy in the category S-Act

M. Haddadi, seyed mojtaba naser Sheykholislami|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 19.

semigroups and automata theory참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 호엔케 루트를 사용하여 S-act에서 r-입사성(r-injectivity)을 도입하며, 모듈 이론의 τ-입사성의 일반화이다. 잘 정의된 성질을 확립하고, r-입사 S-act에 대한 베어-스크니아코프 기준을 증명하며, r가 쿠로쉬-아미츠르 루트일 경우 특정 조건 하에서 r-입사 S-act가 일반적인 입사 S-act와 일치함을 보이고, 이를 통해 새로운 루트 r_G를 통해 입사 S-act의 특성화에 이르렀다.

ABSTRACT

Various generalizations of the concept of injectivy, in particular injectivy with respect to a specific class of morphisms, have been intensively studied throughout the years in different categories. One of the important kinds of injectivy studied in the category R-Mod of R-modules is $τ$-injectivy, for a torsion theory $τ$, or in the other words r-injectivy, where r is the induced idempotent radical by $τ$. In this paper, we introduce the notion of r-injectivy, for a Hoehnke radical r in the category S-Act of S-acts and we study the main properties of this kind of injectivy. Indeed, we show that this kind of injectivy is well behavior and also we present a Bear Theorem for r-injective S-acts. We then consider r-injectivy for a Kurosh-Amitsur radical r and we give stronger results in this case. Finally we present conditions under which r-injective S-acts are exactly injective ones and we give a characterization for injective S-acts

연구 동기 및 목표

• Hoehnke 루트를 사용하여 R-Mod의 τ-입사성에서 S-Act의 범주로 τ-입사성을 일반화하기 위해.
• Hoehnke 루트 r로부터 유도된 닫힘 연산자로부터 유도되는 r-단사 사상의 클래스인 r-단사 사상에 대해 상대적인 r-입사성을 정의하기 위해.
• r-입사성의 잘 정의된 성질을 확립하고, r-입사 S-act에 대한 베어-스크니아코프 유형의 기준을 증명하기 위해.
• r가 쿠로쉬-아미츠르 루트일 경우 r-입사성을 조사하여 더 강력한 구조적 결과를 도출하기 위해.
• 특정한 쿠로쉬-아미츠르 루트 r_G에 대해 r_G-입사 S-act가 일반적인 입사 S-act와 일치함을 보여, 일반적인 입사 S-act를 특성화하기 위해.

제안 방법

• 각 Hoehnke 루트 r에 대해 닫힘 연산자 c^r을 부여하고, c^r-밀도 단사 사상으로서의 r-단사 사상의 정의를 내리기 위해.
• r-단사 사상의 구조적 성질을 연구하며, 이를 고형사상과 확장에 대한 행동을 포함하여 분석하기 위해.
• r-입사성을 r-단사 사상에 대한 확장 성질로 정의하고, 그 행동에 대한 기본 정리들을 증명하기 위해.
• 순환 S-act의 큰 부분act에 대한 확장을 분석함으로써 r-입사성에 대한 베어-스크니아코프 기준을 확립하기 위해.
• 영 원소와 영 이미지를 가진 순환 부분act를 기반으로 한 특정한 쿠로쉬-아미츠르 루트 r_G를 구성하기 위해.
• 스크니아코프의 기준과 닫힘 성질을 사용하여 r_G-입사성으로 일반적인 입사성의 특성화를 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모듈 이론의 τ-입사성은 Hoehnke 루트를 통해 어떻게 S-Act의 범주로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 r-입사성이 정의되는 데 기초가 되는 r-단사 사상의 구조적 및 범주론적 성질은 무엇인가?
• RQ3 언제 r-입사성이 S-Act에서 일반적인 입사성과 일치하는가?
• RQ4 r가 쿠로쉬-아미츠르 루트일 경우 어떤 더 강력한 결과들이 도출되는가, 특히 입사 완성과 부분act에 관해?
• RQ5 r_G-입사성이 일반적인 입사 S-act를 특성화하는 데 기여하는 정규 루트 r_G를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• r가 쿠로쉬-아미츠르 루트일 경우 r-입사성은 잘 정의되어 있으며, r-입사 완성의 취득에 대해 닫혀 있다.
• 쿠로쉬-아미츠르 루트 r에 대해, A가 r-입사일 경우 Σ_r(A)에 속한 모든 부분act B는 r-입사이다.
• r가 쿠로쉬-아미츠르 루트일 경우, 루트 클래스 R_r는 r-입사 완성에 대해 닫혀 있다.
• 영 원소와 영 이미지를 가진 순환 부분act를 기반으로 정의된 루트 r_G는 쿠로쉬-아미츠르 루트이다.
• r_G-입사 S-act는 정확히 입사 S-act이며, 이는 입사 S-act의 새로운 특성화를 제공한다.
• 더 강력한 베어-스크니아코프 기준이 확립되었다: S-act가 입사임과 동시에 그 안에 영 원소가 있고, 임의의 순환 S-act의 큰 부분act에서 그 S-act로의 모든 고형사상이 전체 순환 S-act로 확장될 수 있음과 동치이다.