[논문 리뷰] Radii of starlikeness and convexity of Wright functions

Árpád Baricz, Evrim Toklu외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 02.

Analytic and geometric function theory인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 미타그레플레르 전개와 실근 성질을 이용하여 세 가지 정규화된 워트 함수의 별성 및 볼록성 반경을 조사한다. 관련 초월 방정식의 가장 작은 양의 근에 오일러-레일리 부등식을 적용하여, 0차 순서의 별성 및 볼록성 반경에 대한 날카운 하한과 상한을 유도함으로써, 고전적 베셀 함수에 알려진 결과를 워트 함수 프레임워크로 확장한다.

ABSTRACT

In this paper our aim is to find the radii of starlikeness and convexity of the normalized Wright functions for three different kind of normalization. The key tools in the proof of our main results are the Mittag-Leffler expansion for Wright function and properties of real zeros of Wright function and its derivative. In addition, by using the Euler-Rayleigh inequalities we obtain some tight lower and upper bounds for the radii of starlikeness and convexity of order zero for the normalized Wright functions. The main results of the paper are natural extensions of some known results on classical Bessel functions of the first kind. Some open problems are also proposed, which may be of interest for further research.

연구 동기 및 목표

• 세 가지 정규화된 워트 함수에 대한 별성 및 볼록성 반경을 결정하는 것.
• 고전적 베셀 함수에 대한 알려진 결과를 더 넓은 워트 함수의 범주로 확장하는 것.
• 오일러-레일리 부등식을 이용하여 0차 순서의 별성 및 볼록성 반경에 대한 날카운 하한과 상한을 확립하는 것.
• 라귀에르-폴리 클래스를 통한 워트 함수와 그 도함수의 실근 구조를 분석하는 것.
• 향후 워트 함수의 기하적 성질에 관한 연구를 위한 열린 문제를 제안하는 것.

제안 방법

• 워트 함수와 그 도함수의 미타그레플레르 전개를 이용하여 실근을 기반으로 한 무한곱으로 표현한다.
• 라귀에르-폴리 클래스 이론을 적용하여 유도된 함수의 모든 근이 실수이자 단순함을 보장한다.
• 역근의 멱합에 대한 오일러-레일리 부등식을 적용하여 가장 작은 양의 근에 대한 경계를 도출한다.
• 로그 미분의 무한급수 표현을 유도하여 계수를 일치시키고 멱합을 계산한다.
• 로그 미분의 실부를 포함하는 해석 기준을 이용하여 별성 및 볼록성을 특성화한다.
• 단조성 논증을 통해 별성 및 볼록성 반경을 정의하는 초월 방정식의 해의 유일성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 세 가지 정규화된 워트 함수에 대한 정확한 별성 및 볼록성 반경은 무엇인가?
• RQ2 워트 함수의 별성 및 볼凸성 반경은 고전적 베셀 함수의 그것과 어떻게 비교되는가?
• RQ3 0차 순서의 별성 및 볼凸성 반경에 대해 날카운 하한과 상한을 도출할 수 있는가?
• RQ4 워트 함수와 그 도함수의 실근은 기하적 성질을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 기하함수론 결과를 워트 함수로 확장함에 따라 발생하는 열린 문제들은 무엇인가?

주요 결과

• 정규화된 워트 함수의 0차 순서 별성 반경은 함수 도함수와 자기 자신 간의 비율을 포함하는 초월 방정식의 가장 작은 양의 해이다.
• 0차 순서 볼凸성 반경은 제2도함수를 포함하는 다른 초월 방정식의 가장 작은 양의 해로 결정된다.
• 워트 함수 도함수의 근들의 제곱의 역수의 첫 번째 및 두 번째 멱합에 오일러-레일리 부등식을 적용하여, 0차 순서 별성 반경에 대한 날카운 경계를 확보한다.
• 0차 순서 볼凸성 반경의 경우, 제2도함수의 근들의 역수의 첫 번째 및 두 번째 멱합을 이용하여 유사한 경계를 도출한다.
• 워트 함수 도함수의 가장 작은 양의 근은 0차 순서 별성 반경을 결정하며, 이 근은 고립되고 단순하다.
• 결과는 제1종 베셀 함수에 대한 알려진 결과를 일반화하며, 워트 함수의 기하적 성질에서 유사한 행동을 보임을 보여준다.