[논문 리뷰] Radius of Starlikeness for Classes of Analytic Functions

Kanika Khatter, See Keong Lee외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 21.

Analytic and geometric function theory참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 단위 원판 위에서 정의된 세 종류의 해석 함수에 대해, 함수 $ g $ 에 대해 $ \operatorname{Re}\left(\frac{1-z^2}{z}g(z)\right) > 0 $ 를 만족하는 조건을 포함하는 축소 조건을 통해 정의된 세 가지 함수 클래스에 대해 정확한 별성 반경을 결정한다. 계수 추정과 축소 원리의 응용을 통해, 순서 $ \alpha $ 의 별성, 르모나드 별성, 포물선 별성, 지수 별성 및 기타 클래스를 포함한 하위클래스에 대해 정확한 반경을 유도하며, 각 반경에 대해 명시적인 공식과 수치 값을 제공하고, 극한 함수를 통해 검증한다.

ABSTRACT

We consider normalized analytic function $f$ on the open unit disk for which either $\operatorname{Re} f(z)/g(z)>0$, $|f(z) /g(z) - 1|<1$ or $\operatorname{Re} (1-z^2) f(z) /z>0$ for some analytic function $g$ with $\operatorname{Re} (1-z^2) g(z) /z>0$. We have obtained the radii for these functions to belong to various subclasses of starlike functions. The subclasses considered include the classes of starlike functions of order $α$, lemniscate starlike functions and parabolic starlike functions.

연구 동기 및 목표

• 주어진 $ f \in \mathcal{K}_1, \mathcal{K}_2, \mathcal{K}_3 $ 에 대해, 모든 $ 0 < r \leq \rho $ 에 대해 함수 $ f_r(z) = f(rz)/r $ 이 다양한 별성 함수 하위클래스에 속하도록 하는 최대 반경 $ \rho \leq 1 $ 을 결정하는 것.
• 특정 실부 조건을 만족하는 $ g $ 를 포함한 비율 $ f(z)/g(z) $ 또는 $ (1-z^2)f(z)/z $ 을 통한 정의를 고려하여 이전의 반경 결과를 확장하는 것.
• 주어진 함수 클래스 하에서 $ \mathcal{S}^*(\alpha) $, $ \mathcal{S}_L^* $, $ \mathcal{S}_e^* $, $ \mathcal{S}_{RL}^* $, $ \mathcal{S}_c^* $, $ \mathcal{S}_{\leftmoon}^* $, $ \mathcal{S}_R^* $ 와 같은 주요 별성 함수 하위클래스에 대해 정확한 반경을 계산하는 것.
• 특정 극한 함수 $ f_3(z) = z/(1 - z^4) $ 를 사용하여 확보된 반경의 정확성을 검증하여, $ z = ir $ 에서 경계 조건에서 등호가 성립함을 보이는 것.

제안 방법

• 논문은 $ f/g \in \mathcal{P} $, $ |f/g - 1| < 1 $, 또는 $ \operatorname{Re}\left(\frac{1-z^2}{z}f(z)\right) > 0 $ 와 같은 축소 조건을 바탕으로 $ \mathcal{K}_1, \mathcal{K}_2, \mathcal{K}_3 $ 세 종류의 클래스를 정의하며, $ g $ 는 $ \operatorname{Re}\left(\frac{1-z^2}{z}g(z)\right) > 0 $ 를 만족한다.
• 기존의 축소 원리와 계수 추정을 적용하여, 특히 함수 $ f_3(z) = z/(1 - z^4) $ 를 사용해 허수축에서 $ zf'(z)/f(z) $ 의 경계 행동을 시험한다.
• 각 별성 함수 하위클래스에 대해, $ r $ 을 포함하는 부등식을 풀어 반경을 유도한다. 예를 들어 $ \frac{2r(r^2 + r + 1)}{1 - r^4} \leq \text{임계값} $ 과 같은 형태이며, 임계값은 하위클래스를 정의하는 특정 함수 $ h $ 에 따라 달라진다.
• 반경은 부등식의 등호 조건에서 유도된 특정 다항식 방정식의 가장 작은 양의 실근으로 계산되며, 예를 들어 $ \mathcal{S}_P^* $ 에서는 $ 3r^4 - 4r^3 - 4r^2 - 4r + 1 = 0 $ 이다.
• 레마 2.4–2.9 는 $ zf'(z)/f(z) $ 의 성장과 $ h(z) $ 의 상세 이미지 간의 관계를 설정하여, $ zf'(z)/f(z) \prec h(z) $ 가 반경 $ r^* $ 까지 성립함을 보장한다.
• 정확성은 $ f_3 $ 에 대해 $ zf_3'(z)/f_3(z) $ 가 $ z = ir^* $ 에서 $ h $ 의 이미지 경계에 도달하고, 정의 부등식에서 등호가 성립함을 보여 확보된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수 $ \mathcal{S}^*(h) $ 가 $ zf'(z)/f(z) \prec h(z) $ 를 만족하는 별성 함수의 하위클래스로 정의될 때, $ f \in \mathcal{K}_3 $ 이면 모든 $ f $ 에 대해 $ f_r(z) = f(rz)/r \in \mathcal{S}^*(h) $ 가 성립하도록 하는 최대 반경 $ \rho $ 는 무엇인가요?
• RQ2 다양한 별성 함수 하위클래스, 예를 들어 $ h(z) = \sqrt{1+z} $, $ h(z) = e^z $, 또는 $ h(z) = 1 + \sin z $ 를 정의하는 경우, 별성 반경은 어떻게 변화합니까?
• RQ3 단일 극한 함수를 사용하여 계산된 반경의 정확성을 검증할 수 있으며, 만약 가능하면 어떤 함수이며, 어디서 등호가 성립합니까?
• RQ4 지수 별성, 원형 별성, 및 반달 별성과 같은 하위클래스에 대해 정확한 반경을 정의하는 다항식 방정식은 무엇입니까?
• RQ5 조건 $ \operatorname{Re}\left(\frac{1-z^2}{z}f(z)\right) > 0 $ 는 다른 클래스와 비교하여 별성 반경에 어떤 영향을 미치나요?

주요 결과

• $ \mathcal{K}_3 $ 에 대한 $ \mathcal{S}_P^* $-반경은 $ R_{\mathcal{S}_P^*} = r^* \approx 0.2021347 $ 이며, $ 3r^4 - 4r^3 - 4r^2 - 4r + 1 = 0 $ 의 가장 작은 양의 실근이며, $ f_3(z) = z/(1 - z^4) $ 에 대해 정확하다.
• 지수 별성 반경 $ R_{\mathcal{S}_e^*} \approx 0.244259 $ 는 $ (2r^3 + 2r^2 + 2r - 1 - r^4)e + 1 - r^4 = 0 $ 의 가장 작은 양의 실근이며, 정확성은 $ z = iR_{\mathcal{S}_e^*} $ 에서 $ |\log(zf_3'(z)/f_3(z))| = 1 $ 이 성립함으로써 확인된다.
• $ \mathcal{S}_c^* $-반경은 $ R_{\mathcal{S}_c^*} \approx 0.254716 $ 이며, $ 3r^3 + 3r^2 + 3r - 1 - 2r^4 = 0 $ 의 가장 작은 양의 실근으로 주어지며, $ z = iR_{\mathcal{S}_{c}^*} $ 에서 $ zf_3'(z)/f_3(z) = 1/3 = h_c(-1) $ 이므로 정확성이 유지된다.
• $ \mathcal{S}_{\leftmoon}^* $-반경은 $ 2r^3 + 2r^2 + 2r - \sqrt{2}r^4 = 2 - \sqrt{2} $ 의 가장 작은 양의 실근이며, $ z = iR_{\mathcal{S}_{\leftmoon}^*} $ 에서 $ |(zf_3'(z)/f_3(z))^2 - 1| = 2|zf_3'(z)/f_3(z)| $ 이 성립함으로써 정확성이 검증된다.
• $ \mathcal{S}_{\sin}^* $-반경은 $ 2r(r^3 + r^2 + r + 1) = \sin(1)(1 - r^4) $ 의 가장 작은 양의 실근이며, $ f_3 $ 에 대해 정확하며, 정의 조건에서 등호가 성립함을 보여준다.
• $ \mathcal{S}_R^* $-반경은 $ (2\sqrt{2} - 1)r^4 - 2r(r^2 + r + 1) + (3 - 2\sqrt{2}) = 0 $ 의 가장 작은 양의 실근이며, $ z = iR_{\mathcal{S}_R^*} $ 에서 $ zf_3'(z)/f_3(z) = 2\sqrt{2} - 2 = h_R(-1) $ 이므로 정확성이 확인된다.