[논문 리뷰] Radon-Nikodym approximation in application to image analysis

Vladislav Gennadievich Malyshkin|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 05.

Image and Signal Denoising Methods인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 전통적인 최소 제곱 근사 대신 기저 함수의 두 이차형식의 비율을 사용하는 라돈-니코다임 기반 영상 복원 방법을 제안한다. 이는 경계 부근의 진동을 크게 감소시키고 수치적 안정성을 향상시킨다. 벡터 모멘트 $<fQ_k>$ 대신 행렬 모멘트 $<fQ_jQ_k>$ 를 활용함으로써, 특히 레지오나르드나 체비셰프와 같은 안정된 다항식 기저를 사용할 경우 더 견고한 영상 복원, 특징 추정 및 변환 표현이 가능해진다.

ABSTRACT

For an image pixel information can be converted to the moments of some basis $Q_k$, e.g. Fourier-Mellin, Zernike, monomials, etc. Given sufficient number of moments pixel information can be completely recovered, for insufficient number of moments only partial information can be recovered and the image reconstruction is, at best, of interpolatory type. Standard approach is to present interpolated value as a linear combination of basis functions, what is equivalent to least squares expansion. However, recent progress in numerical stability of moments estimation allows image information to be recovered from moments in a completely different manner, applying Radon-Nikodym type of expansion, what gives the result as a ratio of two quadratic forms of basis functions. In contrast with least squares the Radon-Nikodym approach has oscillation near the boundaries very much suppressed and does not diverge outside of basis support. While least squares theory operate with vectors $$, Radon-Nikodym theory operates with matrices $$, what make the approach much more suitable to image transforms and statistical property estimation.

연구 동기 및 목표

• 제한된 모멘트로부터의 표준 최소 제곱 영상 복원에서 발생하는 안정성 문제와 경계 진동을 해결하기 위해.
• 최근의 모멘트 계산 기술 발전을 바탕으로 고차 모멘트를 사용한 수치적으로 안정된 영상 복원 방법을 개발하기 위해.
• 라돈-니코다임 도함수를 통한 이차형식의 비율로 영상 복원을 재구성함으로써, 강인성과 해석 가능성을 향상시키기 위해.
• 모멘트 기반 표현에 대한 행렬 대수를 활용해 효율적인 영상 변환과 통계적 성질 추정을 가능하게 하기 위해.
• 일반화 고유값 분해를 통해 '자연스러운 기저'를 도입하여 압축되고 안정적인 영상 표현을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 벡터 모멘트 $<fQ_k>$ 를 사용하는 최소 제곱 근사 대신, 행렬 모멘트 $<fQ_jQ_k>$ 를 기반으로 한 라돈-니코다임 방법으로 대체한다.
• 기저 함수와 역 그램 행렬을 바탕으로 유도된 국소화된 상태 $\psi_{x_0}(x)$ 를 사용하여 양수 가중치를 갖는 복원 커널을 정의함으로써 진동을 억제한다.
• 라돈-니코다임 근사 $A_{RN}(x)$ 는 두 이차형식의 비율로 표현되며, 분자 $\sum_{i,j,k,m} Q_i(x) G^{-1}_{ij} <fQ_jQ_k> G^{-1}_{km} Q_m(x)$ 와 분모 $\sum_{i,j} Q_i(x) G^{-1}_{ij} Q_j(x)$ 의 비율이다.
• 일반화 고유값 문제 $\sum_m <Q_k f Q_m> \psi_m^{(s)} = \lambda^{(s)} \sum_m <Q_k Q_m> \psi_m^{(s)}$ 를 활용해 '자연스러운 기저' $\psi^{(s)}(x)$ 를 계산하며, 이는 두 모멘트 행렬을 대각화한다.
• 자연스러운 기저에서 르베그 유사 적분 개념을 적용하여, 측도 $\mu_i$ 는 값 구간 $[f_i, f_i + df)$ 내의 고유값 $\lambda^{(s)}$ 의 개수로 정의되며, 이는 강인한 통계적 추정을 가능하게 한다.
• 정규 다항식 기저(레지오나르드, 체비셰프, 라거르, 에르미트)를 위한 안정적인 수치 라이브러리를 활용하여 고차 모멘트를 정확히 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라돈-니코다임 기반 복원이 제한된 모멘트로부터의 영상 복원에서 경계 진동을 최소 제곱보다 효과적으로 억제할 수 있는가?
• RQ2 벡터 기반 최소 제곱에 비해 $<fQ_jQ_k>$ 모멘트를 사용하는 행렬 기반 접근법이 수치적 안정성에서 어떻게 향상되는가?
• RQ3 모멘트 행렬에 대한 일반화 고유값 문제로부터 도출된 '자연스러운 기저'가 영상 표현과 처리를 단순화할 수 있는가?
• RQ4 영상 변환과 통계적 성질이 모멘트 기반 표현의 행렬 트레이스로 얼마나 정확히 표현될 수 있는가?
• RQ5 자연스러운 기저에서 고유값 개수를 측도로 사용하는 르베그 유사 적분이 영상 분석에서 표준 픽셀 기반 르베그 적분과 비교해 어떻게 성능이 뛰어나게 되는가?

주요 결과

• 라돈-니코다임 방법은 기저 함수의 두 이차형식의 비율로 구성되며, 가중치 함수의 양수성으로 인해 영상 경계 근처의 진동을 내재적으로 억제한다.
• 최소 제곱과 달리, 이 방법은 기저 함수의 지지 집합 외부에서도 발산하지 않아 보다 신뢰할 수 있는 외삽 행동을 보인다.
• 벡터 모멘트 $<fQ_k>$ 가 아닌 행렬 모멘트 $<fQ_jQ_k>$ 를 사용함으로써, 행렬 대수를 통한 영상 특징과 변환의 안정적 계산이 가능해진다.
• 일반화 고유값 문제로부터 도출된 '자연스러운 기저' $\psi^{(s)}(x)$ 는 영상 모멘트 행렬과 그램 행렬을 동시에 대각화하므로 상관관계 및 평균 계산을 단순화한다.
• 영상 평균과 교차상관관계는 행렬 트레이스로 계산될 수 있으며, 예를 들어 $\overline{f} = \mathrm{Tr}(G^{-1} <fQ_jQ_k>) / \dim G$ 와 같이 표현되어 효율적인 통계 추정이 가능하다.
• 자연스러운 기저에서의 르베그 유사 적분은 값 구간 내 고유값의 개수를 측도로 사용하여, 픽셀 기반 밀도 추정과는 달리 기저에 종속되지 않는 안정적인 대안을 제공한다.