[논문 리뷰] Radon--Nikodym representations of Cuntz--Krieger algebras and Lyapunov spectra for KMS states

Marc Keßeböhmer, Manuel Stadlbauer외 1명|arXiv (Cornell University)|2006. 01. 15.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 39인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Cuntz--Krieger 대수에서 $(H,\beta)$-KMS 상태와 고유값 1에 대한 이중 Perron--Frobenius 연산자 $\mathcal{L}_{-\beta H}^*$의 고유측도 사이의 일대일 대응을 확장하여, 포텐셜 함수 $H \geq 0$를 포함하는 확산 동역계와 포텐셜 함수에 파라볼릭 원소를 가진 경우에도 적용 가능하도록 일반화한다. Markov 피브리드 시스템을 통한 Radon--Nikodym 표현을 도입하고, Kleinian 군에 적용하여 한계집합 위 연속 함수에 제한된 KMS 상태의 하우스도르프 차원에 대한 공식을 유도한다.

ABSTRACT

We study relations between $(H,β)$--KMS states on Cuntz--Krieger algebras and the dual of the Perron--Frobenius operator $\mathcal{L}_{-βH}^{*}$. Generalising the well--studied purely hyperbolic situation, we obtain under mild conditions that for an expansive dynamical system there is a one--one correspondence between $(H,β)$--KMS states and eigenmeasures of $\mathcal{L}_{-βH}^{*}$ for the eigenvalue 1. We then consider representations of Cuntz--Krieger algebras which are induced by Markov fibred systems, and show that if the associated incidence matrix is irreducible then these are $\ast$--isomorphic to the given Cuntz--Krieger algebra. Finally, we apply these general results to study multifractal decompositions of limit sets of essentially free Kleinian groups $G$ which may have parabolic elements. We show that for the Cuntz--Krieger algebra arising from $G$ there exists an analytic family of KMS states induced by the Lyapunov spectrum of the analogue of the Bowen--Series map associated with $G$. Furthermore, we obtain a formula for the Hausdorff dimensions of the restrictions of these KMS states to the set of continuous functions on the limit set of $G$. If $G$ has no parabolic elements, then this formula can be interpreted as the singularity spectrum of the measure of maximal entropy associated with $G$.

연구 동기 및 목표

• 확산 동역계에 포탄적 원소가 포함된 경우에도 $(H,\beta)$-KMS 상태와 이중 Perron--Frobenius 연산자 $\mathcal{L}_{-\beta H}^*$의 고유측도 사이의 대응을 일반화하는 것.
• 입사 행렬이 기약인 경우, 연속적인 Radon--Nikodym 도함수를 가진 Markov 피브리드 시스템에 의해 유도된 Cuntz--Krieger 대수 $\mathcal{O}_A$의 Radon--Nikodym 표현을 수립하는 것.
• 기본적으로 자유인 Kleinian 군에 대해 일반적 프레임워크를 적용하여, 리아풀로프 스펙트럼과 다중분수 분해를 통해 KMS 상태를 분석하는 것.
• Kleinian 군의 한계집합 위 연속 함수에 제한된 KMS 상태의 하우스도르프 차원에 대한 공식을 유도하는 것.
• 군에 포탄적 원소가 없을 경우, 결과적인 차원 공식이 최대 엔트로피 측도의 특이성 스펙트럼과 일치함을 해석하는 것.

제안 방법

• Cuntz--Krieger 대수 $\mathcal{O}_A$에서 $(H,\beta)$-KMS 상태를 특성화하기 위해 이중 Perron--Frobenius 연산자 $\mathcal{L}_{-\beta H}^*$를 사용하는 것.
• 연속적인 Radon--Nikodym 도함수를 가진 Markov 피브리드 시스템을 통해 $\mathcal{O}_A$의 Radon--Nikodym 표현을 구성하는 것.
• 기본적으로 자유인 Kleinian 군의 한계집합에 대해 열역학적 형식론을 적용하고, 경계에서의 동역계를 정의하기 위해 Bowen--Series 사상의 유사체를 사용하는 것.
• 고유값 1에 대한 $\mathcal{L}_{-\beta H}^*$의 고유측도와 $\{H=0\}$에서 자명한 $(H,\beta)$-KMS 상태 사이의 일대일 대응을 확립하는 것.
• 리아풀로프 스펙트럼을 사용하여 KMS 상태의 $\mathcal{C}(L(G))$에 제한된 부분의 하우스도르프 차원에 대한 공식을 도출하는 것.
• 측도적 함수 $H$와 $\widetilde{\chi}$를 사용하여 전개 집합 위에서의 유한 합을 통해 전체 공간 위의 전이 함수 $\chi$를 정의하고, $H$와 $\widetilde{\chi}$가 연속일 경우 $\chi$의 연속성을 보장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확산 동역계에 포탄적 원소가 포함된 경우, 고유값 1에 대한 $\mathcal{L}_{-\beta H}^*$의 고유측도와 $(H,\beta)$-KMS 상태 사이의 일대일 대응이 성립하는가?
• RQ2 입사 행렬 $A$가 기약이고 측도 $m$의 Radon--Nikodym 도함수가 그 지지부위에서 연속일 때, 연속적인 Radon--Nikodym 도함수를 가진 Markov 피브리드 시스템에 의해 유도된 Cuntz--Krieger 대수 $\mathcal{O}_A$가 $^*$-동형임을 만족하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 기본적으로 자유인 Kleinian 군에 대해 Bowen--Series 사상의 유사체의 리아풀로프 스펙트럼을 사용하여 관련 Cuntz--Krieger 대수에서 해석적 가족의 KMS 상태를 정의할 수 있는가?
• RQ4 Kleinian 군의 한계집합 위 연속 함수에 제한된 KMS 상태의 하우스도르프 차원은 얼마인가?
• RQ5 군에 포탄적 원소가 없을 경우, 차원 공식은 최대 엔트로피 측도의 특이성 스펙트럼과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 고유값 1에 대한 $\mathcal{L}_{-\beta H}^*$의 고유측도 집합과 $\{H=0\}$에서 자명한 $(H,\beta)$-KMS 상태 집합 사이에 일대일 대응이 존재하며, 이는 이전 결과를 $H \geq 0$로 확장한다.
• 입사 행렬 $A$가 기약이고 측도 $m$의 Radon--Nikodym 도함수가 그 지지부위에서 연속일 경우, Markov 피브리드 시스템에 의해 유도된 Cuntz--Krieger 대수 $\mathcal{O}_A$는 Radon--Nikodym 표현을 가진다.
• 기본적으로 자유인 Kleinian 군 $G$에 대해, Cuntz--Krieger 대수 $\mathcal{O}_A$는 Bowen--Series 사상의 유사체의 리아풀로프 스펙트럼에 의해 유도된 해석적 가족의 KMS 상태를 가진다.
• KMS 상태가 $\mathcal{C}(L(G))$에 제한된 부분의 하우스도르프 차원은 리아풀로프 지수와 Perron--Frobenius 연산자의 고유값을 포함하는 공식으로 주어진다.
• 군 $G$에 포탄적 원소가 없을 경우, 차원 공식은 군 $G$와 관련된 최대 엔트로피 측도의 특이성 스펙트럼과 일치하며, KMS 이론과 다중분수 분석을 연결한다.
• 전체 공간 $\Omega$ 위의 측도적 함수 $\chi$는 $H$와 $\widetilde{\chi}$를 유한한 전이 집합 위에서의 합으로 구성되며, $H$와 $\widetilde{\chi}$가 연속일 경우 $\chi$의 연속성을 보장한다.