[논문 리뷰] Rainbow Connection Number and Radius

Manu Basavaraju, L. Sunil Chandran외 2명|NOT FOUND REPOSITORY (Indian Institute of Science Bangalore)|2010. 11. 02.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 6인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 반지름 r과 굴절성 k에 따라 브릿지가 없는 그래프의 레인보우 연결 수(rc(G))에 대한 날카운 상계를 확립한다. rc(G) ≤ r(r+2) 및 rc(G) ≤ rk 를 증명한다. 일반 연결 그래프에 대해 O(nm) 시간 내에 (r+3)-근사 알고리즘을 구성적으로 제안하며, BFS 기반 다단계 지배 집합과 귀 분해를 활용하여 최소한의 색상으로 레인보우 연결성을 확보한다.

ABSTRACT

The rainbow connection number, rc(G), of a connected graph G is the minimum number of colours needed to colour its edges, so that every pair of its vertices is connected by at least one path in which no two edges are coloured the same. In this note we show that for every bridgeless graph G with radius r, rc(G) <= r(r + 2). We demonstrate that this bound is the best possible for rc(G) as a function of r, not just for bridgeless graphs, but also for graphs of any stronger connectivity. It may be noted that for a general 1-connected graph G, rc(G) can be arbitrarily larger than its radius (Star graph for instance). We further show that for every bridgeless graph G with radius r and chordality (size of a largest induced cycle) k, rc(G) <= rk. It is known that computing rc(G) is NP-Hard [Chakraborty et al., 2009]. Here, we present a (r+3)-factor approximation algorithm which runs in O(nm) time and a (d+3)-factor approximation algorithm which runs in O(dm) time to rainbow colour any connected graph G on n vertices, with m edges, diameter d and radius r.

연구 동기 및 목표

• 반지름 r에 대한 함수로서 브릿지가 없는 그래프의 레인보우 연결 수(rc(G))에 대한 날카운 상계를 확립하기 위해.
• 특히 더 높은 연결성 조건을 갖는 그래프에서 rc(G)가 반지름에만 의존하는 함수로 유계화될 수 있는지 조사하기 위해.
• 증명 가능 성능 보장을 갖는 효율적인 근사 알고리즘을 개발하기 위해 일반 연결 그래프의 레인보우 색칠에 대해.
• 굴절성이나 이소메트릭 사이클 크기와 같은 추가적인 구조적 제약 조건이 반지름에 대해 선형 상계를 rc(G)에 도출할 수 있는지 탐색하기 위해.

제안 방법

• BFS를 사용하여 반복적으로 k단계 지배 집합을 확장하고, 지배 집합 내의 정점들 사이의 경로(허용 가능한 귀)를 번갈아가며 색상 풀을 사용하여 색칠함으로써 브릿지가 없는 그래프의 레인보우 색칠을 구성한다.
• 색상 할당이 지배 집합 내의 정점에 연결되는지 여부에 따라 달라지도록, 갈림길을 피하기 위해 두 개의 서로소 색상 풀 A와 B를 사용한다.
• 정점 u의 BFS 경로에서 마지막 두 정점을 추적하기 위해 Foot(u) 데이터 구조를 사용하여, 허용 가능한 귀를 탐지하고 적절한 색칠 순서를 보장한다.
• k단계 지배 집합에서 (k-1)단계 지배 집합을 재귀적으로 구성함으로써 레인보우 연결성을 유지하며, 정확히 할당된 간선 색상으로 유지한다.
• 브릿지를 먼저 단일 정점으로 압축하여 브릿지가 없는 그래프로 변환하고, 그 결과 그래프에 브릿지가 없는 알고리즘을 적용한 후 원래 브릿지에 고유한 색상을 할당함으로써 일반 연결 그래프로 확장한다.
• O(m) 시간에 브릿지 탐지 알고리즘과 주요 색칠 알고리즘을 조합하여 두 가지 근사 알고리즘을 제시한다: 하나는 O(nm) 시간에 (r+3)-근사율을 가지며, 다른 하나는 O(dm) 시간에 (d+3)-근사율을 가지며, d는 지름이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 브릿지가 없는 그래프의 레인보우 연결 수가 반지름에만 의존하는 함수로 상계될 수 있는가?
• RQ2 강화된 연결성 가정 하에 있어도, rc(G) ≤ r(r+2)의 상계가 브릿지가 없는 그래프에 대해 날카로운가?
• RQ3 굴절성이나 이소메트릭 사이클 크기와 같은 추가적인 구조적 제약 조건이 반지름에 대해 rc(G)에 대해 선형 상계를 도출할 수 있는가?
• RQ4 반지름 또는 지름을 매개변수로 사용할 때 일반 연결 그래프의 레인보우 색칠에 대해 달성 가능한 근사율은 무엇인가?
• RQ5 증명 가능한 시간 복잡도와 근사 보장을 갖는 구성적 알고리즘을 레인보우 색칠에 대해 설계할 수 있는가?

주요 결과

• 반지름이 r인 모든 브릿지가 없는 그래프 G에 대해 rc(G) ≤ r(r+2)이며, 이 상계는 1-간선 연결성보다 강한 연결성 조건을 갖는 그래프에 대해서도 날카롭다.
• 굴절성 k(최대 유도 사이클 크기)를 갖는 브릿지가 없는 그래프에 대해 rc(G) ≤ rk 이며, 이는 일반 브릿지가 없는 그래프에 대해 이전에 알려진 4n/5−1 보다 향상된 결과이다.
• 제안된 알고리즘은 O(nm) 시간 내에 임의의 연결 그래프에 대해 (r+3)-근사율을 달성하며, r은 rc(G)의 하한으로서 사용된다.
• 다른 옵션으로, O(dm) 시간에 (d+3)-근사율을 갖는 알고리즘이 존재하며, 지름이 작은 그래프에 대해 더 빠른 선택지가 된다.
• 알고리즘은 구성적이며, 번갈아가는 색상 풀을 사용한 적절한 귀 색칠을 통해 지배 집합 내 정점 간의 모든 경로가 레인보우가 되도록 보장함으로써 유효한 레인보우 색칠을 도출한다.
• 브릿지를 먼저 압축한 후 브릿지가 없는 알고리즘을 적용함으로써 일반 연결 그래프로 확장되며, 최종 색상 수는 rc(G) ≤ r(r+2) + b로 유계화되며, 여기서 b는 브릿지의 수이다.