[논문 리뷰] Rainbow structures in locally bounded colourings of graphs

Jaehoon Kim, Daniela Kühn외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 22.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 39인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 간색이 칠해진 준무작위 그래프의 근사 분해를 국소적 및 전반적 유한성 조건 하에 붉은 색의 스패닝 구조로 분해하는 데 성공한다. $n$개 정점을 가진 완전 그래프에서 각 색의 빈도가 $(1-o(1))n/2$ 이하이고 국소적으로 $o(n/\text{log}^4 n)$ 이하인 간색 칠을 한 경우, $(1-o(1))n/2$ 개의 간선으로 분리된 붉은 색 해밀턴 사이클이 존재하며, 이와 유사한 결과들이 거의 스패닝 사이클과 라틴 초입체의 전이조합에 대해 적용 가능하다. 이때는 경계 조건에서 로그 인자만큼의 오차가 허용된다.

ABSTRACT

We prove several results on approximate decompositions of edge-coloured quasirandom graphs into rainbow spanning structures. More precisely, we say that an edge-colouring of a graph is locally $\ell$-bounded if no vertex is incident to more than $\ell$ edges of any given colour, and that it is (globally) $g$-bounded if no colour appears more than $g$ times in the colouring. Note that every proper colouring of an $n$-vertex graph is locally $1$-bounded, and (globally) $n/2$-bounded. Our results imply the following: (i) The existence of approximate decompositions of edge-coloured $K_n$ into rainbow almost-spanning cycles, provided that the colouring is $\frac{n}{2}$-bounded and locally $o(n)$-bounded. (ii) The existence of approximate decompositions of edge-coloured $K_n$ into rainbow Hamilton cycles, provided that the colouring is $(1-o(1))\frac n2$-bounded and locally $o\big(\frac{n}{\log^4 n}\big)$-bounded. (iii) A bipartite version of our results implies that every $n imes n$ array, where each symbol appears $(1-o(1))n$ times in total and appears only $o\big(\frac{n}{\log^2 n}\big)$ times in each row or column, has an approximate decomposition into full transversals. We also prove analogues of (i) and (ii) for $F$-factors, where $F$ is any fixed graph. Apart from the logarithmic factor in (ii), all these bounds are essentially best possible. (i) can be viewed as a generalization of a recent result of Alon, Pokrovskiy and Sudakov, who showed the existence of an almost spanning cycle in a properly coloured complete graph. Both (i) and (ii) imply approximate versions of a conjecture of Brualdi and Hollingsworth, stating that every properly edge-coloured complete graph can be decomposed into rainbow spanning trees.

연구 동기 및 목표

• 간색이 칠해진 준무작위 그래프가 붉은 색 스패닝 부분그래프로 근사 분해될 수 있는 조건을 규명하는 것.
• 국소적 및 전반적 유한성 제약 조건 하에서 간색이 칠해진 완전 그래프에서 붉은 색 해밀턴 사이클과 거의 스패닝 사이클의 존재를 조사하는 것.
• 고정된 그래프 $F$에 대해 $n \times n$ 배열과 라틴 스퀘어, 일반화된 라틴 초입체에 응용되는 전이조합 및 $F$-팩터로 결과를 확장하는 것.
• 로그 인자 수준까지의 오차를 허용하여 간선으로 분리된 붉은 색 구조의 수에 대한 정량적 경계를 제시하고, 이 경계가 거의 최적임을 보이는 것.
• 브루알디-홀링스워스 추측, 즉 붉은 색 스패닝 트리로의 분해에 기여하며, 더 느슨한 간색 조건 하에서 근사적 형태로 이를 증명하는 것.

제안 방법

• 각 정점에서의 색 빈도가 국소적으로 유한한 (국소적 $β$-유한성) 및 전반적으로 유한한 (전반적 $g$-유한성) 간색 칠을 분석하기 위해 준무작위 그래프 성질과 확률적 방법을 활용한다.
• 서브그래프에서 서로 다른 색을 가진 간선들의 분리된 구성 수를 제어하는 데 기반한 일반적인 분해 프레임워크를 적용한다. 이는 정리 2.14에 기반한다.
• 랜덤 제약 기법을 사용한다: 해밀턴 구조의 경우, 랜덤으로 정점 부분집합으로 제약을 두고 주요 정리를 적용하여 거의 스패닝 사이클을 도출한다.
• 위상수학 및 극단적 조합론 도구를 활용하며, 아하론리 등과 하타미-쇼어의 결과를 활용하여 배열 내 부분 전이조합의 경계를 구한다.
• 정리 1.7(랜덤 부분집합에 관한 것)과 정리 2.10(희박한 그래프에 관한 것)을 조합하여 모든 사이클 길이를 커버하는 전순환성 결과를 유도한다.
• 그래프 $F$의 분리된 복제본으로 구성된 구조를 고려하여 $F$-팩터에 대해 방법을 적응한다. 서로 다른 색을 가진 분리된 $F$ 복제본의 구성에 기반해, 유한한 간색 조건 하에서 근사 분해를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전 그래프 $K_n$의 간색 칠에서 국소적 및 전반적 유한성 조건이 만족될 때, 간선으로 분리된 붉은 색 해밀턴 사이클이 다수 존재하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 완전한 간색 칠보다 더 약한 유한성 조건 하에서도 붉은 색 거의 스패닝 사이클로의 근사 분해를 달성할 수 있는가?
• RQ3 $n \times n$ 배열에서 각 기호가 전반적으로 $O(n)$번 나타나고, 각 행 또는 열에서 $o(n/\text{log}^2 n)$번 나타날 때, 부분 전이조합의 최대 크기는 얼마인가?
• RQ4 더 느슨한 간색 제약 조건 하에서 브루알디-홀링스워스 추측(붉은 색 스패닝 트리로의 분해)을 얼마나 근사적으로 달성할 수 있는가?
• RQ5 로그 인자 수준이 준무작위 그래프에서 붉은 색 구조 분해의 경계의 날카로움에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 $(1-o(1))n/2$-유한성 및 국소적으로 $o(n/\text{log}^4 n)$-유한성 조건을 만족하는 $K_n$의 간색 칠에 대해 $(1-o(1))n/2$ 개의 간선으로 분리된 붉은 색 해밀턴 사이클이 존재한다.
• 모든 적절한 간색 칠이 적용된 $K_n$은 $(1-o(1))n/2$ 개의 간선으로 분리된 붉은 색 거의 스패닝 사이클(길이 $(1-o(1))n$)로 분해될 수 있다.
• $n \times n$ 배열에서 각 기호가 전반적으로 $(1-o(1))n$번 나타나고, 각 행 또는 열에서 $o(n/\text{log}^2 n)$번 나타날 때, 전체 전이조합으로의 근사 분해가 가능하다.
• 국소적 및 전반적 간색 조건의 경계는 로그 인자 수준까지 거의 최적임이 입증되었으며, 이는 $n - \Omega(\text{log} n)$보다 긴 붉은 색 사이클이 존재하지 않는 구성에 의해 확인된다.
• 모든 고정된 그래프 $F$에 대해 붉은 색 $F$-팩터로의 결과를 확장할 수 있으며, 유사한 유한성 조건 하에서 근사 분해가 존재한다.
• 이 논문은 브루알디-홀링스워스 추측의 근사적 형태를 암시하는 프레임워크를 제공하며, 그 결과는 고클 등이 추측의 완전한 증명에 사용되었다.