[논문 리뷰] Rainbow Subgraphs in Edge-colored Complete Graphs -- Answering two Questions by Erdős and Tuza

Maria Axenovich, Felix Christian Clemen|arXiv (Cornell University)|2022. 09. 28.

Limits and Structures in Graph Theory인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 에르되시와 두자가 제기한 엣지-색칠된 완전 그래프에서 레이인보우 부분그래프에 관한 두 가지 오랜 질문에 답한다. 완전히 균형 잡힌 색칠법—각 정점에서 각 색상에 대해 동일한 간선 수를 가지는 것—을 사용하여 대부분의 $q \geq 4$에 대해 $K_q$ 레이인보우 클리크를 피하는 구조를 구성한다. 이는 사전순 곱 색칠법과 완벽한 차이 집합의 연결 고리와 함께 이루어진다. 주요 결과는 $q$가 소수 거듭제곱 더하기 일의 형태가 아니면, $d(n, K_q) = \infty$가 되는 $n \equiv 1 \pmod{\binom{q}{2}}$ 인 무한히 많은 $n$ 이 존재함을 보여, $d(n,F)$ 의 유한성에 대한 추측과 모순된다.

ABSTRACT

An edge-coloring of a complete graph with a set of colors $C$ is called completely balanced if any vertex is incident to the same number of edges of each color from $C$. Erdős and Tuza asked in $1993$ whether for any graph $F$ on $\ell$ edges and any completely balanced coloring of any sufficiently large complete graph using $\ell$ colors contains a rainbow copy of $F$. This question was restated by Erdős in his list of ``Some of my favourite problems on cycles and colourings''. We answer this question in the negative for most cliques $F=K_q$ by giving explicit constructions of respective completely balanced colorings. Further, we answer a related question concerning completely balanced colorings of complete graphs with more colors than the number of edges in the graph $F$.

연구 동기 및 목표

• 질문 1.1을 해결하기: 모든 $\ell$ 개 간선을 가진 그래프 $F$ 와 충분히 큰 $n \equiv 1 \pmod{\ell}$ 에 대해 $d(n,F)$ 가 유한한가? 특히 클리크 $F = K_q$ 에 대해.
• 크기가 큰 완전 그래프에서 $\ell$ 개 색상을 가진 완전히 균형 잡힌 색칠법이 $F$ 의 레이인보우 복제본을 피할 수 있는가를 조사하기.
• 질문 1.5를 다루기: $(\ell+1, \lfloor(n-1)/(\dots$

제안 방법

• 저자들은 더 큰 완전 그래프의 완전히 균형 잡힌 색칠법을 더 작은 것들로부터 재귀적으로 구성하기 위해 엣지-색칠법의 사전순 곱을 도입한다.
• 반복적인 사전순 곱을 기반으로 하는 재귀적 구성법을 사용하여 $n = (\ell+1)^k$ 개 정점과 $\ell$ 또는 $\ell+1$ 개 색상을 가지는 색칠법을 생성하며, 각 정점에서 색상 분포가 균일하도록 보장한다.
• 색칠법이 레이인보우 클리크 $K_q$ 를 피하는 조건을 규명하는 데 의존하며, 특히 $q$ 개 정점이 간선에서 모두 다른 색상을 유도하지 않도록 보장한다.
• 레이인보우 $K_q$ 의 존재성과 $\mathbb{Z}_n$ 내의 완벽한 차이 집합의 존재성 간의 연결 고리가 핵심 기법이다; 이러한 집합이 존재하지 않으면 색칠법에서 레이인보우 $K_q$ 가 존재하지 않음을 의미한다.
• 논문은 $p^k + 1$ 크기의 완벽한 차이 집합의 싱거의 구성법과 소수 거듭제곱 추측을 사용하여 $d(n, K_q) = \infty$ 가 되는 $q$ 의 조밀도를 분석한다.
• 최근 펠루즈의 결과—특히 $\mathbb{Z}_{q^2 - q + 1}$ 내에서 완벽한 차이 집합이 존재하는 정수 $q$ 의 조밀도에 관한 것—을 응용하여 $|S(N)|$ 의 渐近 bound 를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $\ell$ 개 간선을 가진 그래프 $F$ 와 충분히 큰 모든 $n \equiv 1 \pmod{\ell}$ 에 대해 $d(n, F)$ 가 유한한가?
• RQ2 크기가 큰 완전 그래프에서 $\ell = \binom{q}{2}$ 개 색상을 가진 완전히 균형 잡힌 엣지-색칠법이 레이인보우 $K_q$ 를 포함하는가?
• RQ3 $\ell+1$ 개 색상을 사용할 때, $K_n$ 의 모든 완전히 균형 잡힌 색칠법이 $\ell$ 개 간선을 가진 모든 그래프 $F$ 를 레이인보우 부분그래프로 포함하는가?
• RQ4 $d(n, K_q) = \infty$ 가 되는 정수 $q$ 의 점점 증가하는 조밀도는 무엇인가? 이는 무한히 많은 $n \equiv 1 \pmod{\binom{q}{2}}$ 에 대해 성립한다.
• RQ5 어떤 조건에서 완전히 균형 잡힌 $K_n$ 의 색칠법이 레이인보우 $K_q$ 를 피할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $|S(N)| = N - (1 + o(1)) \frac{N}{\log N}$ 이라고 보여, 즉 대부분의 $q \leq N$ 에 대해 $\binom{q}{2}$ 에 대해 $n \equiv 1 \pmod{\binom{q}{2}}$ 인 임의로 큰 $n$ 이 존재하며, $\binom{q}{2}$ 개 색상으로 완전히 균형 잡힌 $K_n$ 의 색칠법이 레이인보우 $K_q$ 를 피할 수 있음을 의미한다. 따라서 $d(n, K_q) = \infty$ 가 된다.
• 모든 $q \geq 10$ 에 대해 $q \equiv 2$ 또는 $3 \pmod{4}$ 이고, $n = (\ell + 1)^k$ 이며 $\ell = \binom{q}{2}$ 이면, $\ell$ 개 색상으로 완전히 균형 잡힌 $K_n$ 의 색칠법이 존재하며, 레이인보우 $K_q$ 는 존재하지 않아 $d(n, K_q) = \infty$ 를 증명한다.
• 모든 $q \geq 8$ 에 대해 $q \equiv 0$ 또는 $1 \pmod{4}$ 이고, $n = (\ell + 2)^k$ 이며 $\ell = \binom{q}{2}$ 이면, $\ell + 1$ 개 색상으로 완전히 균형 잡힌 $K_n$ 의 색칠법이 존재하며, 레이인보우 $K_q$ 는 존재하지 않아 질문 1.5에 대한 부정적 답변을 제공한다.
• 표준 색칠법에서 $n = q^2 - q + 1$ 이고 $\ell = \binom{q}{2}$ 개 색상을 사용할 때 레이인보우 $K_q$ 가 존재하는 것과 $\mathbb{Z}_n$ 내에 크기 $q$ 의 완벽한 차이 집합이 존재하는 것은 동치이며, 이는 $q-1$ 이 소수 거듭제곱이 아니면 알려진 바에 따라 실패한다.
• 논문은 $\mathbb{Z}_{q^2 - q + 1}$ 내에 크기 $q$ 의 완벽한 차이 집합이 존재하지 않는 한, $d(n, K_q) = \infty$ 가 되는 $n \equiv 1 \pmod{\binom{q}{2}}$ 인 무한히 많은 $n$ 이 존재함을 증명한다. 이는 $q-1$ 이 소수 거듭제곱이 아닌 모든 $q$ 에 대해 성립한다.
• 저자들은 $d(n, K_q) = \infty$ 가 되는 무한히 많은 $n \equiv 1 \pmod{\binom{q}{2}}$ 를 가지는 $q \leq N$ 의 집합 $S(N)$ 이 점점 증가하는 조밀도가 $N - (1 + o(1)) \frac{N}{\log N}$ 임을 확인하였으며, 이는 질문 1.1에 대한 부정적 답변을 가진 $q$ 의 집합이 $\mathbb{N}$ 에서 조밀하다는 것을 의미한다.