[논문 리뷰] Ramanujan and Labos primes, their generalizations and classifications of primes

Vladimir Shevelev|arXiv (Cornell University)|2009. 09. 03.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 구간 (x, 2x) 내 소수 분포와 관련된 대칭성에 기반해 일반화된 라마누잔 및 라보스 소수를 도입한다. 이를 통해 v-over-Ramanujan 및 v-over-Labos 소수로의 확장을 다루며, 두 개의 체를 구축하고 v-분류 체계를 제안한다. 점근 밀도 추측은 히우리스틱 분석에 의해 지지되며, v-가짜-라마누잔 소수의 비율은 v가 증가함에 따라 감소함을 보여준다.

ABSTRACT

Considering Ramanujan primes and the symmetric to them so-called Labos primes, we study their parallel properties, we study all primes with these properties (generalized Ramanujan and Labos primes) and construct two kinds of sieves for them. Finally, we give a further natural generalization of these constructions and pose some conjectures and open problems.

연구 동기 및 목표

• 소수 분포의 대칭성에 기반해 라마누잔 및 라보스 소수의 개념을 일반화하여 확장한다.
• v-over-Ramanujan 및 v-over-Labos 소수를 식별하기 위한 두 가지 새로운 체 알고리즘을 개발한다.
• 구간 행동에 따라 소수를 v-left, v-right, v-central, v-isolated 유형으로 분류한다.
• 히우리스틱 분석을 사용해 이러한 일반화된 소수 유형의 점근 밀도를 추측하고 이를 지지한다.
• 라마누잔 및 라보스 소수에 대칭적 구조가 부족한 문제를 해결하기 위해 가짜-라마누잔 및 가짜-라보스 소수를 도입함으로써 소수의 순서를 복원한다.

제안 방법

• 만일 $ p_m < p/v < p_{m+1} $ 이면, $ (p, vp_{m+1}) $ 가 소수를 포함하거나 (라마누잔의 경우), $ (\lfloor vp_m \rfloor - \varepsilon, p) $ 가 소수를 포함하는 조건을 통해 v-over-Ramanujan 및 v-over-Labos 소수를 정의한다.
• 진정한 v-라마누잔 또는 v-라보스 소수가 아니지만 대칭 조건을 만족하는 소수를 v-가짜-라마누잔 및 v-가짜-라보스 소수로 정의한다.
• 첫 번째 체는 베르트란 유사 수열 $ b_v(n) $ 를 사용하며, $ \lceil v b_v(n-1) \rceil + \varepsilon $ 보다 작은 가장 큰 소수로 재귀적으로 정의된다.
• 두 번째 체는 구간 $ (\lfloor kv \rfloor - \varepsilon, \lceil (k+1)v \rceil + \varepsilon) $ 를 사용하며, 각 구간에서 마지막 구간을 제외한 모든 소수를 유지한다.
• 구간 포함성에 따라 $ p/v $ 와의 관계를 기반으로 소수를 v-left, v-right, v-central, v-isolated 유형으로 v-분류한다.
• 히우리스틱 추론을 통해 각 유형의 점근 밀도 공식을 유도하며, $ \pi_{R_v'}(x) \sim \left(\frac{v-1}{v} + \frac{1}{e^v - 1}\right)\pi(x) $ 라는 추측 2를 가정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 v-over-Ramanujan 소수의 점근 밀도는 전체 소수 중에서 어떻게 되며, 이는 v에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ2 가짜-라마누잔 및 가짜-라보스 소수를 도입함으로써 라마누잔 및 라보스 소수 사이에 대칭적 분류를 설정할 수 있는가?
• RQ3 v가 증가함에 따라 v-left, v-right, v-central, v-isolated 소수의 밀도는 점근적으로 어떻게 행동하는가?
• RQ4 v-over-Ramanujan 소수 중에서 v-가짜-라마누잔 소수의 비율은 얼마이며, 이 비율은 v에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ5 주어진 $ v > 1 $ 에 대해 v-가짜-라마누잔, v-central, v-isolated 소수의 최소값은 무엇인가?

주요 결과

• 일반화된 라마누잔 및 라보스 소수의 수열은 $ R'_v(1) \leq L'_v(1) \leq R'_v(2) \leq L'_v(2) \leq \cdots $ 를 만족하며, 원래 수열에서 상실된 순서를 복원한다.
• v-over-Ramanujan 소수의 수를 세는 함수는 $ \pi_{R_v'}(x) \sim \left(\frac{v-1}{v} + \frac{1}{e^v - 1}\right)\pi(x) $ 를 만족하며, 이들 중 v-가짜-라마누잔 소수의 비율은 $ \frac{v}{(v-1)e^v + 1} $ 이다.
• v-left 및 v-right 소수의 밀도는 점근적으로 $ \left(\frac{v-1}{v} + \frac{1}{e^v - 1}\right)\left(\frac{1}{v} - \frac{1}{e^v - 1}\right)\pi(x) $ 이며, v-central 소수의 밀도는 $ \left(\frac{v-1}{v} + \frac{1}{e^v - 1}\right)^2\pi(x) $ 이다.
• v-isolated 소수의 밀도는 $ \left(\frac{1}{v} - \frac{1}{e^v - 1}\right)^2\pi(x) $ 이며, 네 유형의 밀도 합은 $ \pi(x) $ 와 일치하여 분류의 완전성을 확인한다.
• 큰 $ v \ln p_n $ 에서 모든 밀도의 점근 근사가 성립할 것으로 기대되며, $ v \to \infty $ 일 때 v-가짜-라마누잔 소수의 비율은 0으로 수렴하고, $ v \to 1^+ $ 일 때는 1로 수렴한다.
• 구간 $ (\lfloor kv \rfloor - \varepsilon, \lceil (k+1)v \rceil + \varepsilon) $ 를 기반으로 한 체는 3-over-Ramanujan 소수 수열을 성공적으로 생성하며, OEIS A164952 와 일치한다.