[논문 리뷰] Ramsey and Gallai-Ramsey numbers for two classes of unicyclic graphs

Zhao Wang, Yaping Mao외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 26.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 두 종류의 유일순환 그래프—삼각형을 형성하는 추가 엣지를 가진 별과 한쪽 끝에 삼각형이 있는 경로—에 대한 2색 램지 수를 결정하고, 이러한 결과를 바탕으로 램지 수의 날카러운 상한과 하한을 확립한다. 주요 기여는 램지 수의 정확하거나 근사 정확한 값을 구하기 위해 감소된 그래프와 재귀적 상한을 활용하는 갈라이-색칠의 구조적 분석을 수행하는 것이다. 이는 유채색 삼각형을 피하는 맥락에서 이루어진다.

ABSTRACT

Given a graph $G$ and a positive integer $k$, define the \emph{Gallai-Ramsey number} to be the minimum number of vertices $n$ such that any $k$-edge coloring of $K_n$ contains either a rainbow (all different colored) triangle or a monochromatic copy of $G$. In this paper, we consider two classes of unicyclic graphs, the star with an extra edge and the path with a triangle at one end. We provide the $2$-color Ramsey numbers for these two classes of graphs and use these to obtain general upper and lower bounds on the Gallai-Ramsey numbers.

연구 동기 및 목표

• 두 가지 특정 유일순환 그래프 클래스에 대한 2색 램지 수를 결정한다: 삼각형을 형성하는 추가 엣지를 가진 별과 한쪽 끝에 삼각형이 있는 경로.
• 유채색 삼각형을 피하는 완전 그래프의 갈라이-색칠을 분석하며, 갈라이 분할의 구조와 감소된 그래프를 활용한다.
• 기존 결과와 재귀적 부등식을 활용하여 이러한 유일순환 그래프의 갈라이-램지 수에 대한 일반적인 상한과 하한을 유도한다.
• 비이분할 유일순환 그래프의 갈라이-램지 수가 색의 수에 따라 선형적으로 증가함을 보이며, 비이분할 그래프의 지수적 증가와 대비된다.

제안 방법

• 갈라이의 분할 정리(정리 1)를 사용하여 갈라이-색칠된 완전 그래프를 최소 두 가지 색으로만 부분 간에 연결되는 비자명한 분할로 분해한다.
• 감소된 그래프—갈라이 분할의 각 부분에서 한 정점씩 선택하여 형성된 2색 완전 그래프—를 활용하여 전반적인 색 구성 구조를 분석한다.
• 문헌 [13]의 보조정리 1을 적용하여 목표 그래프의 단색 복제본을 피하는 부분 그래프의 크기를 제한하며, 더 작은 갈라이-램지 수에 대한 재귀적 상한을 활용한다.
• 순환 그래프의 알려진 램지 수(정리 3)와 짝수 순환 그래프의 상한(정리 4)을 재귀적 분석의 기초 도구로 활용한다.
• 갈라이 분할의 부분 수와 부분 간 엣지의 색 분포를 기반으로 한 경우 분석을 통해 큰 단색 부분 그래프가 존재할 경우 모순을 이끌어낸다.
• 밀레의 정리(밀레의 정리)를 적용하여 조밀한 그래프에서 해밀턴 순환을 포함하는 긴 경로나 순환의 존재를 보이며, 이로 인해 목표 그래프의 단색 복제본이 존재함을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 별에 추가 엣지를 더해 삼각형을 형성하는 유일순환 그래프에 대한 2색 램지 수는 무엇인가?
• RQ2 색의 수가 증가함에 따라 별에 추가 엣지를 가진 그래프의 갈라이-램지 수는 어떻게 변화하는가?
• RQ3 경로의 첫 번째 정점과 세 번째 정점에 엣지를 추가해 삼각형을 형성하는 유일순환 그래프에 대한 2색 램지 수는 무엇인가?
• RQ4 경로에 삼각형이 있는 그래프의 갈라이-램지 수는 다른 유일순환 그래프와 비교해 어떻게 되는가? 특히 이분할 대 비이분할의 이원성에 비추어 본다.
• RQ5 재귀적 분할과 구조적 제약 조건을 활용하여 이러한 그래프의 갈라이-램지 수에 대해 날카러운 상한과 하한을 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 삼각형을 형성하는 추가 엣지를 가진 별에 대한 2색 램지 수가 결정되었으며, 이는 갈라이-램지 수의 재귀적 분석에 대한 기초 사례가 된다.
• 한쪽 끝에 삼각형이 있는 경로에 대한 2색 램지 수가 확립되었으며, 이는 고색 갈라이-램지 수의 상한 유도에 기여한다.
• 두 그래프 클래스에 대한 갈라이-램지 수가 색의 수에 따라 선형적으로 증가함을 보였으며, 이는 이분할 그래프의 행동과 일치한다.
• 갈라이 분할의 구조적 제약 조건과 보조정리 1을 사용하여 모순을 이끌어내어 $ gr_k(K_3; H) < n_k $ 를 증명한다. 여기서 $ n_k $ 는 재귀적으로 정의된 상한이다.
• 갈라이-색칠이 목표 그래프의 단색 복제본을 피한다면, 정점 수는 $ gr_{k-1}(K_3; H) - 1 $ 이하로 제한됨을 보이며, 이는 재귀적 부등식을 이끌어낸다.
• 특히 $ k=3 $ 인 경우, 단색 $ P_t^+ $ 가 존재하지 않으면 부분의 크기가 작아지며, 빨간색 또는 파란색 부분 그래프에 해밀턴 순환의 존재를 통해 모순이 발생함을 보였다.