[논문 리뷰] Ramsey numbers for partially ordered sets

Christian Winter|arXiv (Cornell University)|2024. 01. 01.

Advanced Topology and Set Theory인용 수 1

한 줄 요약

이 학위논문은 고정된 포스셋 P와 증가하는 블리언 레이어 Qn에 대해 포스켓 라미지 수 R(P, Qn)의 渐近적으로 날카로운 경계를 확립하며, 새로운 확률적 구성법과 블로커 기반 방법을 도입한다. P가 V2 또는 Λ2를 포함하는지 여부에 따라 점근적 행동이 이분화됨을 증명하고, R(Qn, Qn)에 대해 처음으로 선형 하한(2.02^n)과 초선형 상한(n² − (1−o(1))n log n)을 제시한다.

ABSTRACT

The main objective of Ramsey theory is to investigate the largest monochromatic substructure guaranteed in any coloring of a given discrete host structure. Examples for such substructures are subgraphs hosted in a complete graph or arithmetic progressions in the natural numbers. In this thesis, we present quantitative Ramsey-type results in the setting of finite sets that are equipped with a partial order, so-called posets. A prominent example of a poset is the Boolean lattice $Q_n$, which consists of all subsets of $\{1,\dots,n\}$, ordered by inclusion. For posets $P$ and $Q$, the poset Ramsey number $R(P,Q)$ is the smallest $N$ such that no matter how the elements of $Q_N$ are colored in blue and red, there is either an induced subposet isomorphic to $P$ in which every element is colored blue, or an induced subposet isomorphic to $Q$ in which every element is colored red. The central focus of this thesis is to investigate $R(P,Q_n)$, where $P$ is fixed and $n$ grows large. Our results contribute to an active area of discrete mathematics, which studies the existence of large homogeneous substructures in host structures with local constraints, introduced for graphs by Erd\H{o}s and Hajnal. We provide an asymptotically tight bound on $R(P,Q_n)$ for $P$ from several classes of posets, and show a dichotomy in the asymptotic behavior of $R(P,Q_n)$, depending on whether $P$ contains a subposet isomorphic to one of two specific posets. A fundamental question in the study of poset Ramsey numbers is to determine the asymptotic behavior of $R(Q_n,Q_n)$ for large $n$. In this dissertation, we present improvements on the known lower and upper bound on $R(Q_n,Q_n)$. Moreover, we explore variations of the poset Ramsey setting, including Erd\H{o}s-Hajnal-type questions when the small forbidden poset has a non-monochromatic color pattern, and so-called weak poset Ramsey numbers, which are concerned with non-induced subposets.

연구 동기 및 목표

• 고정된 포스켓 P와 큰 n에 대해 R(P, Qn)의 점근적 행동을 규명하는 것.
• P가 하위포스켓으로서 V2 또는 Λ2를 포함하는지 여부에 따라 라미지 성장이 급격히 변화하는지 확인하는 것.
• 대각선 라미지 수 R(Qn, Qn)에 대해 기존의 최고 하한 및 상한을 향상시키는 것.
• 약한 라미지 수와 에르되시-하자날 유형 설정을 포함한 포스켓 라미지 문제의 변형을 탐색하는 것.
• 모든 고정된 P에 대해 R(Qn, Qn) = O(n^{1+o(1)}) 및 R(P, Qn) = n + o(n)이라는 추측을 제기하는 것.

제안 방법

• 체인 레미마를 연장하고 하한을 위한 새로운 블로커 기반 방법을 도입한다.
• 병렬 팩토리얼 트리를 사용한 확률적 구성법을 개발하여 R(Qn, Qn)의 하한에서 선형 개선을 달성한다.
• 블롭 레미마를 정교화하여 R(Qn, Qn)에 대한 초선형 상한을 유도한다.
• 호모모르피즘과 임bedding 기법을 적용하여 V2 또는 Λ2 하위포스켓을 갖지 않는 포스켓을 특성화한다.
• Y-체인과 프레임워크 분해를 사용하여 유도된 하위포스켓의 구조를 분석한다.
• 약한 포스켓 라미지 수를 도입하고 비유도 하위포스켓을 연구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 포스켓 P에 대해 n → ∞ 일 때 R(P, Qn)의 점근적 행동은 무엇인가요?
• RQ2 P가 하위포스켓으로서 V2 또는 Λ2를 포함할 경우 R(P, Qn)의 성장률이 급격히 변화하는가요?
• RQ3 R(Qn, Qn)의 하한이 n의 초다항 함수로 유계일 수 있는가요?
• RQ4 R(Qn, Qn)에 대해 기껏해야 2^n인 하한에 대해 선형 개선이 가능한가요?
• RQ5 약한 포스켓 라미지 수 Rw(Qn, Qn)와 표준 R(Qn, Qn) 사이의 관계는 무엇인가요?

주요 결과

• V2 또는 Λ2를 포함하지 않는 모든 고정된 포스켓 P에 대해 R(P, Qn) ≤ n + c(P)이 성립하여 선형 성장을 보인다.
• P가 V2 또는 Λ2를 포함할 경우 R(P, Qn) ≥ n + n/(15 log n)임을 보여 초선형 하한이 존재함을 밝힌다.
• R(Qn, Qn)에 대해 기존의 자명한 하한에 대한 첫 번째 선형 개선이 확립됨: R(Qn, Qn) ≥ 2.02^n + o(1).
• 기본 상한에 대한 첫 번째 초선형 개선이 달성됨: R(Qn, Qn) ≤ n² − (1−o(1))n log n.
• 새로운 추측을 제안함: R(Qn, Qn) = O(n^{1+o(1)}), 이는 초평면적 성장임을 시사한다.
• 포스켓 에르되시-하자날 수 ˜R(˙P, Qn)는 자명한 경계에 대해 선형 개선이 가능하며, 관련 추측을 확인한다.