[논문 리뷰] Ramsey properties of randomly perturbed dense graphs

Emil Powierski|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 06.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 21인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 무작위로 흩어진 조밀한 그래프에서 램지 성질에 대한 渐近적으로 날카로운 임계값을 확립한다. 임의의 $ \gamma $-조밀한 그래프에 $ G(n,p) $ 를 추가하면, $ p $ 가 $ r $ 에 따라 달라지는 임계값을 초과할 경우, 어떤 2색 칠하기에도 거의확실하게 단색 $ K_r $ 가 존재함을 보여준다. 결과는 홀수 $ r \geq 5 $ 에서 정확하며, 짝수 $ r \geq 4 $ 에서는 거의 정확하다. 이는 비대칭 램지 이론과 의존적인 랜덤 선택 방법을 사용한다.

ABSTRACT

We investigate Ramsey properties of a random graph model in which random edges are added to a given dense graph. Specifically, we determine lower and upper bounds on the function $p=p(n)$ that ensures that for any dense graph $G_n$ a.a.s. every 2-colouring of the edges of $G_n\cup G(n,p)$ admits a monochromatic copy of the complete graph $K_r$. These bounds are asymptotically sharp for the cases when $r\geq 5$ is odd and almost sharp when $r\geq 4$ is even. Our proofs utilise recent results on the threshold for asymmetric Ramsey properties in $G(n,p)$ and the method of dependent random choice.

연구 동기 및 목표

• 임의의 $ \gamma $-조밀한 그래프에 $ G(n,p) $ 를 추가했을 때, 어떤 2색 간선 칠하기에도 거의확실하게 단색 $ K_r $ 가 존재하도록 하는 임계함수 $ p(n) $ 를 결정하는 것.
• 조밀한 기반 그래프의 맥락에서 비대칭 램지 성질을 분석함으로써, 무작위로 흩어진 그래프에 대한 이전의 램지 결과를 확장하는 것.
• $ r \geq 4 $ 에 대해 $ p(n) $ 의 임계값에 대해 날카로운 또는 거의 날카로운 경계를 확립하는 것. 특히 $ r $ 의 홀짝성에 주의를 기울이는 것.
• 최근의 비대칭 램지 임계값과 의존적인 랜덤 선택 방법의 발전을 활용하여, 흩어진 그래프에서의 구조적 보장을 도출하는 것.

제안 방법

• 무작위로 흩어진 조밀한 그래프 모델을 사용하며, 고정된 $ \gamma > 0 $ 에 대해 임의의 $ \gamma $-조밀한 그래프 $ G_n $ 에 $ G(n,p) $ 를 추가한다.
• 비대칭 2-밀도 함수 $ m_2(G,H) $ 를 사용하여 $ G(n,p) $ 내에서 비대칭 램지 성질의 임계값을 분석하며, 특히 $ K_r $-관련 구성에 초점을 맞춘다.
• 의존적인 랜덤 선택 방법을 활용하여 $ G(n,p) $ 내에서 크고 잘 연결된 부분집합을 찾고, 이를 통해 단색 클리크를 구성한다.
• 로델과 루치니의 대칭 램지 임계값 결과와 새로운 비대칭 램지 임계값 결과를 조합하여, 흩어진 모델에 대한 경계를 유도한다.
• 단색 $ K_4 $ 가 존재하지 않을 경우 모순을 이끌어내기 위해, $ K_3 $-및 $ K_4 $-자유 부분그래프의 구조적 제약 조건에 기반한 3단계 간선 칠하기 구성 방법을 사용한다.
• 극대 그래프 이론을 적용하여 밀도 $ \rho(H) \geq 2 $ 인 부분그래프에 포함된 간선 수를 제한함으로써, $ p $ 가 임계값 이하일 경우 이러한 부분그래프가 $ G(n,p) $ 에 거의확실하게 나타나지 않음을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 $ \gamma $-조밀 기반 그래프 $ G_n $ 에 대해, $ G_n \cup G(n,p) $ 가 어떤 2색 간선 칠하기에도 거의확실하게 단색 $ K_r $ 를 포함하는 임계값 $ p(n) $ 는 무엇인가?
• RQ2 무작위로 흩어진 조밀한 그래프에서의 램지 성질에 대한 임계값은 $ G(n,p) $ 자체의 임계값과 어떻게 비교되는가? 특히 $ r \geq 4 $ 에서는 어떻게 되는가?
• RQ3 홀수 $ r \geq 5 $ 에 대해 $ G_n \cup G(n,p) \rightarrow (K_r) $ 의 임계값이 渐近적으로 날카로워질 수 있는가?
• RQ4 무작위로 흩어진 그래프에서 단색 $ K_4 $ 를 방지하기 위해 필요한 $ G(n,p) $ 의 구조적 성질은 무엇인가? 예를 들어, 조밀한 부분그래프의 부재 등.
• RQ5 비대칭 램지 임계값이 $ G(n,p) $ 에서의 성질이 흩어진 모델의 임계값에 어떻게 影響을 미치는가? 특히 $ K_3 $ 및 $ K_4 $-자유 부분그래프의 맥락에서.

주요 결과

• 홀수 $ r \geq 5 $ 에 대해, $ G_n \cup G(n,p) \rightarrow (K_r) $ 의 임계값 $ p(n) $ 는 渐近적으로 날카로우며, 하한과 상한이 정확히 일치한다.
• 짝수 $ r \geq 4 $ 에 대해, $ p(n) $ 의 경계는 거의 날카로우며, 지수 부분에서 상수 인자만 다를 뿐이다.
• $ G_n \cup G(n,p) \rightarrow (K_3) $ 의 임계값은 $ p(n) = n^{-1} $ 이며, 이는 정확하고 기존 결과와 일치한다.
• $ p = o(n^{-2/(t-1)}) $ 일 경우, $ G_n \cup G(n,p) \nrightarrow (K_3, K_t) $ 가 거의확실하게 성립하는 $ \gamma $-조밀 그래프 $ G_n $ 가 존재함을 보여, $ t \geq 3 $ 에서 임계값이 정확함을 입증한다.
• $ p $ 가 임계값 이하일 경우 $ G(n,p) $ 에서 $ \rho(H) \geq 2 $ 이고 $ |V(H)| \leq 8 $ 인 부분그래프 $ H $ 가 거의확실하게 존재하지 않는 것은 증명의 핵심적인 구조적 요소이다.
• 단색 $ K_4 $ 를 피하기 위해 3단계 칠하기 논리를 구성하였으며, 이는 $ K_3 $-자유 및 $ K_4 $-자유 부분그래프와 간선 집합 $ E_s $ 에 기반한다. 이로 인해 간선 수 부등식을 통해 모순을 이끌어낸다.