[논문 리뷰] Ran-Reurings theorems in ordered metric spaces

Mihai Turinici|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 27.

Fixed Point Theorems Analysis참고 문헌 16인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 순서가 있는 거리 공간에서의 Ran-Reurings 고정점 정리가 Maia의 1968년 고정점 결과의 특수한 경우임을 규명한다. 함수적 거리 $ e(x,y) = \sum_{n \geq 0} \lambda^n d(T^n x, T^n y) $ 를 도입함으로써, 저자들은 $ (d,\leq) $-수축 조건이 $ e $-수축성을 유도함을 보이며, Maia의 정리 적용이 가능하게 한다. 핵심 기여는 Ran-Reurings 결과가 Maia의 프레임워크에 통합된 것으로, 준순서 수렴 거의 거리 공간 및 결과의 함수적 형태로의 확장도 포함된다.

ABSTRACT

The Ran-Reurings fixed point theorem [Proc. Amer. Math. Soc., 132 (2004), 1435-1443] is but a particular case of Maia's [Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 40 (1968), 139-143]. A "functional" version of this last result is then provided, in a convergence-metric setting.

연구 동기 및 목표

• Ran-Reurings 고정점 정리와 Maia의 이전 결과 사이의 기초적 관계를 명확히 하는 것.
• Ran-Reurings 정리가 순서가 있는 거리 공간의 맥락에서 Maia의 고정점 정리에 의해 포함됨을 보여주는 것.
• Maia의 결과를 준순서 수렴 거의 거리 공간 및 함수적 설정으로 확장하는 것.
• 시리즈 기반 거리 $ e(x,y) $ 를 사용한 고정점 결과의 함수적 형태를 제공함으로써 $ d $ 를 지배하고 $ e $-수축성을 보장하는 것.
• 연속성 및 순서 완비성 조건을 약화시킨 조건 하에서도 Ran-Reurings 정리를 복원하고 일반화하는 것.

제안 방법

• 수축 상수 $ \alpha \in (0,1) $ 가 $ (d,\leq) $-수축 조건에 포함된 $ \lambda \in (1, 1/\alpha) $ 에 대해 새로운 거리 $ e(x,y) = \sum_{n \geq 0} \lambda^n d(T^n x, T^n y) $ 를 정의한다.
• $ e $ 가 $ X \times X $ 상에서 잘 정의되고 대칭적이며 삼각 부등식을 만족하는 거리임을 증명한다. 또한 $ d $ 가 $ e $ 에 대해 지배됨을 보인다.
• $ T $ 가 상수 $ \alpha \lambda < 1 $ 을 가진 $ e $-수축적임을 보이며, 이는 Maia의 고정점 정리의 가정을 충족함을 의미한다.
• 조건 (b03)에 의해 임의의 두 점 사이에 $ <> $-체인이 존재함을 이용해 $ d(T^n x, T^n y) $ 를 기하급수적 급수로 유계화함으로써 $ e(x,y) $ 의 수렴성을 확보한다.
• $ d $-완비성과 $ T $ 의 $ d $-연속성에 더해 $ e $-수축성 및 지배성 조건을 통합하면, $ T $ 가 $ d $ 모odulo Picard 연산자임을 유도한다.
• 준순서 공간으로의 결과 확장을 위해 함수 $ f \in \mathcal{F}_i(R_+^{2n(x)+1}) $ 에 대한 조건 (e10) 및 (e11) 을 도입하고, 준순서 완비성 및 자기닫힘 조건 하에서 고정점 존재성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Ran-Reurings 고정점 정리는 순서가 있는 거리 공간에서 더 일반적인 고정점 결과의 특수한 경우인가?
• RQ2 적절한 거리 변환을 통해 Ran-Reurings 정리는 Maia의 1968년 고정점 정리로부터 유도될 수 있는가?
• RQ3 $ (d,\leq) $-수축성 조건이 새로운 거리 $ e $ 에 대해 $ e $-수축성을 보장하는 함수적 거리 구축은 무엇인가?
• RQ4 Maia의 고정점 정리는 어떻게 준순서 및 수렴-거리 공간으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 자기사상 $ T $ 가 왼쪽에서 연속적이지 않거나 $ \leq $ 가 간격 닫혀 있지 않을 때, 준순서 거리 공간에서 고유한 고정점이 존재하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• Ran-Reurings 고정점 정리는 함수적 거리 $ e(x,y) = \sum_{n \geq 0} \lambda^n d(T^n x, T^n y) $ 의 구축을 통해 Maia의 1968년 고정점 정리로부터 공리적으로 유도될 수 있다.
• 거리 $ e $ 는 잘 정의되어 있으며 대칭적이며 삼각 부등식을 만족하며, $ d(x,y) \leq e(x,y) $ 를 만족함으로써 $ d $-지배성을 보장한다.
• 자기사상 $ T $ 는 상수 $ \alpha \lambda < 1 $ 을 가진 $ e $-수축적임을 보이며, 따라서 Maia의 정리가 적용되어 $ T $ 는 $ d $ 모odulo Picard 연산자로 나타난다.
• Ran-Reurings 원래 정리의 정규성 조건 (a03) 은 불필요하며, 조건 (b03) 에 의해 존재하는 $ <> $-체인에 의해 암시됨을 보였다.
• 조건 (e10) 및 (e11) 하에서 결과는 준순서 거리 공간으로 확장되며, 이는 비연속 함수에 대한 수축 행동의 일반화를 제공한다.
• 함수 $ f \in \mathcal{F}_i(R_+^{2n(x)+1}) $ 를 통한 고정점 결과의 함수적 형태가 확립되었으며, 정리 9 는 선형 함수 $ f(t) = \alpha t $ 가 $ \alpha \in (0,1) $ 일 때 정상적임을 보여, 더 약한 가정 하에서도 Ran-Reurings 결과를 복원함을 증명한다.