[논문 리뷰] Random attractor of the 3D viscous primitive equations driven by fractional noises

Guoli Zhou|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 18.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 32인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비주기적 경계 조건 하에서 무한 차원 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 3D 점성 원시 방정식에 대해 강한 흡인자(강한 흡인자)의 존재를 확립한다. 저자들은 기존의 고정밀도 공간에서의 콤파クト한 소볼레프 임bedding 기법의 한계를 극복하기 위해, 해의 연산자의 콤파クト성과 유계 흡수 집합의 존재에 기반한 새로운 방법을 제안하며, 소산성 스토하스틱 편미분방정식에 적용 가능한 일반적인 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

We develop a new and general method to prove the the existence of the random attractor (strong attractor) for the primitive equations (PEs) of large-scale ocean and atmosphere dynamics under $non$-$periodic$ boundary conditions and driven by infinite-dimensional additive fractional Wiener processes. In contrast to our new method, the common method, compact Sobolev embedding theorem, is to obtain the uniform $a$ $priori$ estimates in some Sobolev space whose regularity is high enough. But this is very complicated for the 3D stochastic PEs with the $non$-$periodic$ boundary conditions. Therefore, the existence of universal attractor ( weak attractor) was established in previous work. The main idea of our method is that we first derive that $\mathbb{P}$-almost surely the solution operator of stochastic PEs is compact. Then we construct a compact absorbing set by virtue of the compact property of the the solution operator and the existence of a absorbing set. We should point out that our method has some advantages over the common method of using compact Sobolev embedding theorem, i.e., if the random attractor in some Sobolev space do exist in view of the common method, our method would then further implies the existence of random attractor in this space. The present work provides a general way for proving the existence of random attractor for common classes of dissipative stochastic partial differential equations and improves the existing results concerning random attractor of stochastic PEs. In a forth coming paper, we use this new method to prove the existence of strong attractor for the stochastic moist primitive equations, improving the results, the existence of weak (universal) attractor of the deterministic model.

연구 동기 및 목표

• 비주기적 경계 조건 하에서 3D 점성 원시 방정식에 대해 강한 흡인자(강한 흡인자)의 존재를 확립하는 것.
• 비주기적 경계 조건을 갖는 3D 스토하스틱 원시 방정식에서 고정밀도 공간에서 콤파クト한 소볼레프 임베딩 정리의 적용에 따른 기술적 과제를 극복하는 것.
• 광범위한 소산성 스토하스틱 편미분방정식에 적용 가능한 일반적인 방법을 개발하는 것.
• 이전 연구에서 결정론적 설정에서만 약한(일반화된) 흡인자 존재성을 증명한 바를 초월하는 것.
• 더 복잡한 모델, 예를 들어 스토하스틱 수증기 원시 방정식에서 강한 흡인자의 존재를 증명하기 위한 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 해의 연산자가 P-거의 확실히 콤파クト하다는 것을 먼저 증명함으로써, 랜덤 흡인자의 존재를 증명하기 위한 새로운 방법을 도입한다.
• 해의 연산자의 콤파クト성과 유계 흡수 집합의 존재를 결합하여 콤파クト한 흡수 집합을 구성한다.
• 기존의 표준 접근 방식인 콤파クト한 소볼레프 임베딩을 대체로, 해의 연산자의 내재적 콤파クト성에 기반한 동역학 시스템적 추론을 사용한다.
• 해의 연산자가 콤파クト하고, 히어스트 매개수 H > 1/2인 무한 차원 분수 빈처 과정에 의해 구동되는 3D 스토하스틱 원시 방정식에 이 방법을 적용한다.
• 에너지 추정과 그론월라 타입 부등식을 사용하여 속도 및 온도 장의 H^1 및 H^2 노름에서 시간에 대해 균일한 사전 추정치를 도출한다.
• 민코프스키 및 헬더 부등식, 보간 부등식, 소볼레프 임베딩을 사용하여 에너지 추정에서 비선형 항을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비주기적 경계 조건 하에서 분수 노이즈에 의해 구동되는 3D 점성 원시 방정식에 대해 강한(랜덤) 흡인자가 존재할 수 있는가?
• RQ2 고정밀도 공간에서 콤파クト한 소볼레프 임베딩에 의존하지 않고도 랜덤 흡인자의 존재를 증명할 수 있는가?
• RQ3 제안된 방법은 둘 다 적용 가능한 경우 기존의 방법보다 더 강력한 결과를 도출하는가?
• RQ4 이 방법은 다른 종류의 소산성 스토하스틱 편미분방정식에 일반화될 수 있는가?
• RQ5 분수 노이즈를 갖는 스토하스틱 원시 방정식의 장기적 역학의 정(regularity)과 콤파クト성 구조는 어떠한가?

주요 결과

• 3D 스토하스틱 원시 방정식의 해의 연산자는 P-거의 확실히 콤파クト하므로, 콤파クト한 흡수 집합을 구성할 수 있다.
• 비주기적 경계 조건 하에서 3D 점성 원시 방정식의 단위 공간 H^1 × H^1 에서 랜덤 흡인자(강한 흡인자)가 존재한다.
• 이 방법은 고전적 방법이 적용 가능한 소볼레프 공간에서도 랜덤 흡인자의 존재를 보장하며, 더 강력한 동역학적 함의를 가진다.
• 속도 및 온도 장에 대해 H^1 및 H^2 노름에서 시간에 대해 균일하고, 거의 모든 ω에 대해 균일한 사전 추정치가 확립된다.
• 해의 연산자의 콤파クト성과 유계 흡수 집합의 존재 간의 상호작용을 통해 콤파クト한 흡수 집합의 존재가 증명된다.
• 결과는 매개수의 선택에 대해 강건하며, ν_i = μ_i = 1 인 경우에도 적용 가능하며, 다른 값으로의 일반화도 간단하다.