[논문 리뷰] Random band matrices in the delocalized phase, III: Averaging fluctuations

Fan Yang, Jun Yin|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 06.

Random Matrices and Applications참고 문헌 26인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 메조스코픽 밴드 폭 $W$를 가진 $d$-차원 격자 위의 무작위 밴드 행렬에서, 해밀토니안 다항식의 평균화된 변동에 대해 높은 확률성 경계를 설정한다. 이 변동 평균화 결과를 바탕으로, $1 \< W \< N$를 만족하는 조건 하에서 $d \geq 2$ 차원에서 본질적 고유벡터의 비국소화를 증명한다. 이는 이전 결과를 초월하며, 밴드 행렬 모델에서 본질적 보편성과 비국소화를 완성하는 데 핵심적인 단계를 달성한다.

ABSTRACT

We consider a general class of symmetric or Hermitian random band matrices $H=(h_{xy})_{x,y \in \llbracket 1,N rbracket^d}$ in any dimension $d\ge 1$, where the entries are independent, centered random variables with variances $s_{xy}=\mathbb E|h_{xy}|^2$. We assume that $s_{xy}$ vanishes if $|x-y|$ exceeds the band width $W$, and we are interested in the mesoscopic scale with $1\ll W\ll N$. Define the {\it{generalized resolvent}} of $H$ as $G(H,Z):=(H - Z)^{-1}$, where $Z$ is a deterministic diagonal matrix with entries $Z_{xx}\in \mathbb C_+$ for all $x$. Then we establish a precise high-probability bound on certain averages of polynomials of the resolvent entries. As an application of this fluctuation averaging result, we give a self-contained proof for the delocalization of random band matrices in dimensions $d\ge 2$. More precisely, for any fixed $d\ge 2$, we prove that the bulk eigenvectors of $H$ are delocalized in certain averaged sense if $N\le W^{1+\frac{d}{2}}$. This improves the corresponding results in \cite{HeMa2018} under the assumption $N\ll W^{1+\frac{d}{d+1}}$, and in \cite{ErdKno2013,ErdKno2011} under the assumption $N\ll W^{1+\frac{d}{6}}$. For 1D random band matrices, our fluctuation averaging result was used in \cite{PartII,PartI} to prove the delocalization conjecture and bulk universality for random band matrices with $N\ll W^{4/3}$.

연구 동기 및 목표

• 무작위 밴드 행렬에서 해밀토니안 항의 다항식에 대한 평균화된 변동에 대해 정밀한 높은 확률성 경계를 설정하는 것.
• $d \geq 2$ 차원에서 비국소화 영역에서 고유벡터 비국소화의 자가 포함된 증명을 제공하는 것.
• [ErdKno2013], [ErdKno2011], [HeMa2018]에서 이전에 얻어진 결과를 초월하여 비국소화의 알려진 임계값을 향상시키는 것.
• [PartI]와 [PartII]의 이전 연구를 바탕으로, $N \ll W^{4/3}$ 조건 하에서 1차원 무작위 밴드 행렬에 대한 비국소화 추측과 본질적 보편성의 증명을 완성하는 것.

제안 방법

• 거리 $|x - y|$에 따라 감쇠하는 분산 프로파일 $s_{xy} = \mathbb{E}|h_{xy}|^2$를 가진 대칭 또는 헤르미트 무작위 밴드 행렬에 대해 일반화된 해밀토니안 $G(H,Z) = (H - Z)^{-1}$ 를 분석한다.
• 그래픽 전개 방법을 적용하여 해밀토니안 곱을 색이 있는 그래프와 색이 없는 그래프로 분해하고, 의존성과 오차 항을 추적한다.
• 조건부 기대값 $\mathbb{E}_x$와 $Q_x$를 통한 재귀적 분해를 통해 해밀토니안 항의 변동을 제어한다.
• 새로운 변동 평균화 메커니즘을 활용하여, $\dot{G}_{xy}\ddot{G}_{xy'} - Q_x(\dot{G}_{xy}\ddot{G}_{xy'})$ 의 차이를 $\prec N^{-D}$ 오차까지 유한하게 제한한다.
• 다양한 항, 특히 $\mathcal{B}_x$와 $\mathcal{B}_w$ 의 기여를 표현하고 유한하게 제한하기 위해 세밀한 그래픽 계산법을 활용한다.
• 모든 관련 그래프가 제어된 가중치와 지지도를 가진 색이 없는 그래프 $\mathcal{G}_\kappa$ 로 표현될 수 있음을 입증하며, 필요한 감쇠 및 구조 조건을 만족시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 메조스코픽 밴드 폭 $W$를 가진 $d$-차원 무작위 밴드 행렬에서 고유벡터 비국소화의 정확한 임계값은 무엇인가?
• RQ2 비.i.i.d. 분산 프로파일과 장거리 상관관계가 존재하는 조건에서 해밀토니안 다항식의 변동을 어떻게 제어할 수 있는가?
• RQ3 이전 연구보다 더 약한 가정 하에서도 변동 평균화 메커니즘이 비국소화 결과를 도출하기 위해 엄밀하게 적용될 수 있는가?
• RQ4 $d \geq 2$ 차원에서 비국소화를 보장하기 위해 $W$ 와 $N$ 의 최적 스케일링은 무엇인가?
• RQ5 해밀토니안 전개를 위한 그래픽 방법이 비국소화와 보편성의 자가 포함된 증명을 어떻게 가능하게 하는가?

주요 결과

• 해밀토니안 다항식의 평균화된 변동에 대해, 임의의 $D > 0$ 에 대해 $\prec N^{-D}$ 오차까지 유효한 높은 확률성 경계가 확립된다.
• $d \geq 2$ 에서, 조건 $N \leq W^{1 + d/2}$ 하에서 본질적 고유벡터가 평균적으로 비국소화됨이 입증된다. 이는 이전 결과를 향상시킨다.
• 이 결과는 [HeMa2018]에서 요구한 $N \ll W^{1 + d/(d+1)}$ 조건과 [ErdKno2013, ErdKno2011]에서 요구한 $N \ll W^{1 + d/6}$ 조건을 모두 초월한다.
• 변동 평균화 메커니즘이 엄밀하게 적용되어, $N \ll W^{4/3}$ 조건 하에서 1차원 밴드 행렬에 대한 오랜 기간 동안 미해결이었던 비국소화 추측을 해결하며, 이 시리즈의 증명을 완성한다.
• 해밀토니안 항의 그래픽 표현은 복잡한 변동을 제어 가능한 성분들로系계적으로 분해할 수 있게 하며, 감쇠와 지지도가 제어된다.
• 증명 과정에서 모든 관련 오차 항이 색이 없는 그래프 $\mathcal{G}_\kappa$ 의 합으로 표현되며, 계수는 $O((W^{-d})^{\#\text{ of }\alpha\text{ 원자들}})$ 의 형태로 감쇠되어, 적분 가능성과 감쇠를 보장한다.