[논문 리뷰] Random cascade model in the limit of infinite integral scale as the exponential of a non-stationary $1/f$ noise. Application to volatility fluctuations in stock markets

Jean–François Muzy, Rachel Baïle외 1명|RePEc: Research Papers in Economics|2013. 01. 17.

Complex Systems and Time Series Analysis인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비stationary한 $1/f$ 노이즈 과정의 지수 형태로 나타나는 변동성 변동성을 모델링하는 비stationary한 확률적 변동성 모델을 제안한다. 이는 무한한 통합 스케일의 극한에서 연속적인 랜덤 캐스케이드를 효과적으로 모방한다. 이 모델은 경험적 IGARCH 효과와 표본 길이에 따른 추정된 통합 스케일의 강한 의존성을 비stationarity가 본질적인 원인임을 규명함으로써 설명한다. 유한한 캐스케이드 시작 스케일이 아닌, 본질적인 비stationarity가 원인임을 규명한다.

ABSTRACT

In this paper we propose a new model for volatility fluctuations in financial time series. This model relies on a non-stationary gaussian process that exhibits aging behavior. It turns out that its properties, over any finite time interval, are very close to continuous cascade models. These latter models are indeed well known to reproduce faithfully the main stylized facts of financial time series. However, it involve a large scale parameter (the so-called "integral scale" where the cascade is initiated) that is hard to interpret in finance. Moreover the empirical value of the integral scale is in general deeply correlated to the overall length of the sample. This feature is precisely predicted by our model that turns out, as illustrated on various examples from daily stock index data, to quantitatively reproduce the empirical observations.

연구 동기 및 목표

• 연속적인 랜덤 캐스케이드 모델을 금융 변동성에 적용할 때 통합 스케일을 정의하는 데 발생하는 애매함을 해결하기 위해.
• 금융 시계열에서 추정된 통합 스케일이 표본 길이와 강하게 상관되는 이유를 설명하기 위해.
• 유한한 물리적 해석이 가능한 통합 스케일을 가정하지 않고도 변동성 지속성과 금융 수익률의 다중분산 스케일링을 모델링하기 위해.
• 비stationarity가 있는 변동성에서 유한한 시간 간격 동안 다중분산 캐스케이드의 통계적 성질을 재현할 수 있음을 보여주기 위해.
• 장기적 변동성 상관관계와 IGARCH 효과를 포착하는 이론적으로 타당한 연속시간 대안을 제공함으로써 GARCH 모델의 단점을 보완하기 위해.

제안 방법

• 장기적 상관관계를 가지는 비stationary한 가우시안 과정의 지수 형태로 변동성 과정을 구성한다.
• 무한히 나누어지는 무한가능한 측도와 연속적인 랜덤 캐스케이드(예: MRW 모델)의 프레임워크를 무한한 통합 스케일의 극한에서 사용한다.
• 수렴이 평균 제곱에서 $\tau \to 0$일 때 성립함을 증명한 캐스케이드 측도 $M_{\tau}(t)$의 극한을 통해 과정을 정의한다.
• 장기적 상관관계를 모델링하기 위해 공분산 구조 $\mathbb{E}[\omega_\ell(u)\omega_\ell(v)] = \lambda^2 \ln(\max(u,v)/|u-v|)$를 사용한다.
• 모멘트 스케일링 행동 $\mathbb{E}[|\delta_\tau X(t)|^q] \sim C_q \tau^{\zeta(q)}$를 유도하고, $\zeta(q)$가 오목함을 보여, $T \to \infty$가 아닐 경우 유한한 스케일 범위만 존재함을 시사한다.
• 크기 공분산의 경험적 추정을 통해 모델을 검증하며, 이론적 형태 $\lambda^2 \ln(T/\tau)$와의 일치를 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 금융 변동성 모델에서 추정된 통합 스케일이 관측 창의 길이와 강하게 상관되는가?
• RQ2 장기적 상관관계를 가지는 비stationary한 과정이 금융 수익률에서 관찰되는 다중분산 스케일링과 변동성 군집 현상을 재현할 수 있는가?
• RQ3 변동성을 비stationary한 과정으로 모델링함으로써 연속적인 랜덤 캐스케이드 모델에서 유한한 통합 스케일이 필요 없도록 만들 수 있는가?
• RQ4 무한한 통합 스케일 극한이 변동성 증분의 스케일링 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 비stationary한 $1/f$ 노이즈 과정이 장기적 상관관계와 IGARCH 효과를 포함한 금융 변동성의 경험적 성질을 어느 정도 재현할 수 있는가?

주요 결과

• 이 모델의 변동성 과정은 비stationary한 $1/f$ 노이즈의 지수 형태로 정의되며, 어떤 유한한 시간 간격 동안에도 연속적인 랜덤 캐스케이드의 통계적 성질을 재현한다.
• 표본 길이에 따른 추정된 통합 스케일의 경험적 의존성은 물리적 캐스케이드 시작 스케일이 아니라 비stationarity의 결과로 설명된다.
• 이 모델은 스케일링 행동 $\mathbb{E}[|\delta_\tau X(t)|^q] \sim C_q \tau^{\zeta(q)}$가 $T \to \infty$가 아닐 경우 유한한 스케일 범위에서만 성립함을 예측하며, 이는 제안된 모델에서 실현된다.
• 변동성 과정의 크기 공분산은 이론적 형태 $\lambda^2 \ln(T/\tau)$와 일치하며, 경험적 추정이 이 관계를 확인한다.
• 모델의 평균 제곱 수렴은 $\ell \to 0$일 때 $M_\ell(t)$의 극한을 통해 엄밀히 증명되어 수학적으로 잘 정의됨을 보장한다.
• 이 모델은 장기적 변동성 상관관계와 IGARCH 효과를 자연스럽게 설명하는 간결한 연속시간 대안을 제공하며, 매개변수 불안정성 없이 GARCH 모델의 단점을 보완한다.