[논문 리뷰] Random cones in high dimensions I: Donoho-Tanner and Cover-Efron cones

Thomas Godland, Zakhar Kabluchko외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 11.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 31인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 고차원에서 두 가지 모델의 무작위 원뿔, 즉 Donoho-Tanner 원뿔 $D_{n,d}$와 Cover-Efron 원뿔 $C_{n,d}$에 대한 조합적이고 기하학적인 기능수를 위한 극한 정리들을 수립한다. 여기서 $C_{n,d}$는 전체 공간을 생성하지 않도록 조건부로 설정된 Donoho-Tanner 원뿔이다. 기대 통계 차원의 정밀한 점근적 행동을 도출하여, 비율 $\delta = 1/2$에서 고차원 단계 전이를 드러내며, $n = 2d + c\sqrt{d} + o(\sqrt{d})$의 임계 창 내에서 정확한 극한을 제공한다.

ABSTRACT

Two models of random cones in high dimensions are considered, together with their duals. The Donoho-Tanner random cone $D_{n,d}$ can be defined as the positive hull of $n$ independent $d$-dimensional Gaussian random vectors. The Cover-Efron random cone $C_{n,d}$ is essentially defined as the same positive hull, conditioned on the event that it is not the whole space. We consider expectations of various combinatorial and geometric functionals of these random cones and prove that they satisfy limit theorems, as $d$ and $n$ tend to infinity in a suitably coordinated way. This includes, for example, large deviation principles and central as well as non-central limit theorems for the expected number of $k$-faces and the $k$-th conic intrinsic volumes, as $n$, $d$ and possibly also $k$ tend to infinity simultaneously. Furthermore, we determine the precise high-dimensional asymptotic behaviour of the expected statistical dimension for both models of random cones, uncovering thereby another high-dimensional phase transition. As an application, limit theorems for the number of $k$-faces of high-dimensional polytopes generated by random Gale diagrams are discussed as well.

연구 동기 및 목표

• 고차원에서의 무작위 원뿔에 대한 핵심 기하학적 및 조합적 기능수(예: 면 수, 원뿔 내재 체적)의 점근적 행동을 분석한다.
• 모두가 동시에 증가하는 $n$, $d$, $k$에 대해 $k$-면의 기대 수와 $k$-번째 원뿔 내재 체적의 극한 정리를 수립한다.
• Donoho-Tanner 및 Cover-Efron 무작위 원뿔의 기대 통계 차원에 대한 정밀한 고차원 점근적 행동을 규명한다.
• Cover-Efron 원뿔의 $k$-면 수 기대값에 대한 단계 전이에서 $\delta = 1/2$의 열린 케이스를 해결한다.
• 결과를 랜덤 갈레 다이어그램으로 생성된 고차원 다면체의 $k$-면 수에 대한 극한 정리에 적용한다.

제안 방법

• Donoho-Tanner 원뿔 $D_{n,d}$를 $n$개의 i.i.d. $d$-차원 가우시안 벡터의 양의 헐로 정의하고, Cover-Efron 원뿔 $C_{n,d}$를 $\mathbb{R}^d$를 생성하지 않도록 조건부로 설정한 동일한 헐로 정의한다.
• 스토케스틱 기하학과 구면 적분 기하학에서 유도된 명시적 공식을 사용하여 조합적 및 기하학적 기능수(예: 면 수, 원뿔 내재 체적)의 기대값을 계산한다.
• 대규모 편차 원리와 중심극한정리 및 비중앙극한정리를 적용하여 $n, d \to \infty$일 때의 점근적 행동을 분석한다. 이때 $n/d \to \delta$이다.
• 이항분포의 중심극한정리를 사용하여 임계 창 $n = 2d + c\sqrt{d} + o(\sqrt{d})$를 분석하고, 기대 통계 차원에 대한 정확한 극한을 도출한다.
• 원뿔과 그 폴라 원뿔 사이의 이중성 관계를 활용하여, Schläfli 원뿔에 대한 결과를 Cover-Efron 원뿔과 연결한다. 항등식 $\mathbf{E}\Delta(S_{n,d}) = \mathbf{E}\Delta(D_{n,d}^\circ) \cdot \frac{2^n}{C(n,d)}$를 사용한다.
• 농도 및 가우시안 근사 기법을 사용하여 정규화 상수 $C(n,d) = \mathbb{P}[\text{Bin}(n-1,1/2) \leq d-1]$의 점근적 행동을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차원에서 $n, d \to \infty$이고 $n/d \to \delta$일 때, Cover-Efron 원뿔 $C_{n,d}$의 $k$-면 수의 기대값의 점근적 행동은 어떻게 되는가?
• RQ2 임계 영역 $\delta = 1/2$에서 Cover-Efron 및 Donoho-Tanner 원뿔의 기대 통계 차원은 어떻게 되는가?
• RQ3 임계 창 $n = 2d + c\sqrt{d} + o(\sqrt{d})$에서 기대 원뿔 내재 체적과 면 수는 어떻게 행동하는가?
• RQ4 고차원에서 $n, d \to \infty$일 때, 두 원뿔 모델의 기대 통계 차원의 정밀한 극한은 무엇인가?
• RQ5 기대 $k$-면 수의 단계 전이가 $\delta = 1/2$에서 완전히 특징지어질 수 있으며, 수렴 속도는 어떠한가?

주요 결과

• $d \to \infty$일 때 $n/d \to \delta$를 만족하는 조건에서 $\mathbf{E}f_k(C_{n,d}) / \binom{n}{k}$의 극한은 $\delta \in (1/2, 1]$에 대해 $1$이며, 이는 $\delta = 1/2$에서의 열린 케이스를 해결한다.
• 임계 창 $n = 2d + c\sqrt{d} + o(\sqrt{d})$에서, 임의의 고정된 $k$에 대해 $\lim_{d\to\infty} \sqrt{d} \left(1 - \frac{\mathbf{E}f_k(C_{n,d})}{\binom{n}{k}} \right) = \frac{e^{-c^2/4}}{\sqrt{2\pi}} \cdot \left( \Phi(-c/\sqrt{2}) - \frac{c}{2} \right)$ 이 성립한다.
• Cover-Efron 원뿔의 기대 통계 차원은 $\delta \in (1/2, 1]$에 대해 $\mathbf{E}\Delta(C_{n,d}) \sim \frac{d}{2\delta}$이며, $\delta \in (0, 1/2]$에 대해 $\mathbf{E}\Delta(C_{n,d}) \sim d$이다.
• 임계 창 $n = 2d + c\sqrt{d} + o(\sqrt{d})$에서, Cover-Efron 원뿔의 기대 통계 차원은 $d \cdot \frac{1}{\Phi(-c/\sqrt{2})}$로 수렴한다.
• Donoho-Tanner 원뿔의 기대 통계 차원은 $\delta \in (1/2, 1]$에 대해 $\mathbf{E}\Delta(D_{n,d}) \sim \frac{d}{2\delta}$이며, $\delta \in (0, 1/2)$에 대해 $\mathbf{E}\Delta(D_{n,d}) \sim \frac{d}{2(1-2\delta)}$이다.
• 결과는 이중성과 Schläfli 원뿔 구성에 의해, 무작위 갈레 다이어그램으로 생성된 고차원 다면체의 $k$-면 수에 대한 극한 정리를 암시한다.