[논문 리뷰] Random data Cauchy theory for the fourth order nonlinear Schrödinger equation with cubic nonlinearity

Hiroyuki Hirayama, Mamoru Okamoto|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 24.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 초임계 Sobolev 공간 $H^s(\mathbb{R}^d)$, $d \geq 3$ 에서 삼차 도함수 비선형성을 가진 네째계수 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해, 초기 자료가 랜덤화된 경우 거의 확실한 국소 및 전역 잘 정의성과 산산각산을 확립한다. 위너 랜덤화와 정밀화된 스트리카르츠 추정을 통해, 스케일링 임계 임계값 $s_c = \frac{d-3}{2}$ 이하인 정(regularity) $s > \max(\frac{d-5}{2}, \frac{d-5}{6})$ 에서 잘 정의성을 증명하며, 이는 랜덤화가 임계 이하 행동을 가능하게 한다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

We consider the Cauchy problem for the fourth order nonlinear Schrödinger equation with derivative nonlinearity $(i\partial _t + Δ^2) u= \pm \partial (|u|^2u)$ on $\mathbb{R} ^d$, $d \ge 3$, with random initial data, where $\partial$ is a first order derivative with respect to the spatial variable, for example a linear combination of $\frac{\partial}{\partial x_1} , \, \dots , \, \frac{\partial}{\partial x_d}$ or $| abla |= \mathcal{F}^{-1}[|ξ| \mathcal{F}]$. We prove that almost sure local in time well-posedness, small data global in time well-posedness and scattering hold in $H^s(\mathbb{R} ^d)$ with $\max ( \frac{d-5}{2}, \frac{d-5}{6}) < s$, whose lower bound is below the scale critical regularity $s_c= \frac{d-3}{2}$.

연구 동기 및 목표

• 초임계 Sobolev 공간에서 결정론적 잘 정의성이 실패하는 네째계수 비선형 슈뢰딩거 방정식의 코시 문제를 조사한다.
• 초기 자료의 랜덤화가 스케일링 임계 정(regularity) $s_c = \frac{d-3}{2}$ 이하의 국소 잘 정의성을 연장할 수 있는지 판단한다.
• 확률적 방법을 사용하여 이러한 초임계 공간에서 소규모 초기 자료에 대한 전역 잘 정의성과 산산각산을 확립한다.
• 낮은 정(regularity)에도 불구하고 랜덤 초깃값이 적분 가능성을 향상시켜 임계 이하 행동을 가능하게 한다는 것을 보여준다.

제안 방법

• 서브-가우시안 尾 꼬리 를 가진 i.i.d. 랜덤 변수와 단위 분할을 사용한 위너 랜덤화를 통한 초깃값의 랜덤화.
• 랜덤화된 초깃값을 가진 선형 진화에 대한 정밀화된 스트리카르츠 추정의 적용으로, 미분 가능성 증가 없이 적분 가능성을 향상시킴.
• 해를 선형 및 비선형 부분으로 분해하고, 비선형 부분이 스트리카르츠 추정을 통해 정(regularity)을 획득함.
• 확률적 $L^p$-유형의 유계성과 尾 꼬리 추정을 사용하여 초임계 공간에서 해의 크기를 제어함.
• 적절한 함수 공간 $X^s$ 에서 수축 원리의 적용을 통해 거의 확실한 국소 잘 정의성을 증명함.
• 스케일링을 통한 기존 방정식에서 스케일링된 방정식으로의 전환을 통해 소규모 자료 결과를 전역 존재성과 산산각산 보장함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 삼차 도함수 비선형성을 가진 네째계수 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해, 스케일링 임계 정(regularity) 이하의 Sobolev 공간에서 거의 확실한 잘 정의성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 초기 자료의 위너 랜덤화가 임계 이하 행동을 가능하게 하고 결정론적 임계값을 초월한 잘 정의성 범위를 확장할 수 있는가?
• RQ3 거의 확실한 국소 잘 정의성에 대한 최적의 정(regularity) $s$ 는 무엇이며, 스케일링 임계값 $s_c = \frac{d-3}{2}$ 와 어떻게 비교되는가?
• RQ4 랜덤 초깃값을 사용하여 초임계 공간에서 소규모 자료에 대한 전역 잘 정의성과 산산각산을 달성할 수 있는가?
• RQ5 잘 정의성의 확률은 초깃값의 크기와 정(regularity) $s$ 에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• 국소 잘 정의성은 $\max(\frac{d-5}{2}, \frac{d-5}{6}) < s < \frac{d-3}{2}$ 에서 $H^s(\mathbb{R}^d)$ 에서 거의 확실하게 성립하며, 이는 스케일링 임계 정(regularity) $s_c = \frac{d-3}{2}$ 이하이다.
• 동일한 범위의 $s$ 에서 소규모 초깃값을 가진 $H^s(\mathbb{R}^d)$ 에서 거의 확실한 전역 잘 정의성과 산산각산이 확립된다.
• 주어진 $T>0$ 에 대해 잘 정의성의 확률은 $1 - C\exp\left(-\frac{c}{T^{\gamma}\|\phi\|_{H^s}^2}\right)$ 이하로 유계이며, $T \to 0$ 일 때 1으로 수렴한다.
• 랜덤화는 적분 가능성을 향상시켜, 초기 자료가 스케일링 임계 정(regularity) 이하일 때도 스트리카르츠 추정을 사용할 수 있도록 한다.
• 해의 맵은 시간에 대해 거의 확실하게 $H^s(\mathbb{R}^d)$ 값으로 연속이며, 비선형 부분은 $C((-T_\omega,T_\omega); H^{\frac{d-3}{2}}(\mathbb{R}^d))$ 에 속한다.
• 방정식을 스케일링하고 확률적 추론을 적용함으로써, 소규모 초깃값에 대해 해가 거의 확실하게 전역 존재하고 산산각산함을 증명하였으며, 실패의 확률은 자료 크기에 대해 지수적으로 감소한다.