[논문 리뷰] Random flights related to the Euler-Poisson-Darboux equation

Roberto Garra, Enzo Orsingher|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 03.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 11인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 유한 속도와 비균일 푸아송 과정에 의해 지배되는 시간에 따라 변화하는 방향 전환을 갖는 1차원 및 고차원에서의 랜덤 운동을 조사한다. 초기값 문제를 풀어 유클리드-포아송-다르부(Euler-Poisson-Darboux, EPD) 방정식의 명시적 확률 밀도 함수를 유도하며, λ(t) = α/t, λ(t) = λ coth(λt), λ(t) = λ tanh(λt)인 경우에 해가 새로운 분포를 제공함을 보여주며, 이는 다차원 확장된 부채꼴 법칙과 특이 성분을 가진 새로운 평면 운동 법칙을 포함한다.

ABSTRACT

This paper is devoted to the analysis of random motions on the line and in the space R^d (d > 1) performed at finite velocity and governed by a non-homogeneous Poisson process with rate λ(t). The explicit distributions p(x,t) of the position of the randomly moving particles are obtained solving initial-value problems for the Euler- Poisson-Darboux equation when λ(t) = α/t, t > 0. We consider also the case where λ(t) = λcoth λt and λ(t) = λtanh λt, where some Riccati differential equations emerge and the explicit distributions are obtained for d = 1. We also examine planar random motions with random velocities by projecting random flights in R^d onto the plane. Finally the case of planar motions with four orthogonal directions is considered and the corresponding higher-order equations with time-varying coefficients obtained.

연구 동기 및 목표

• 유한 속도와 비균일 푸아송 과정에 의해 지배되는 시간에 따라 변화하는 방향 전환을 갖는 R^d 상의 랜덤 운동을 분석한다.
• 유클리드-포아송-다르부(EPD) 방정식의 초기값 문제를 풀어 입자 위치에 대한 명시적 확률 밀도 함수를 유도한다.
• 특히 λ(t) = α/t, λ coth(λt), λ tanh(λt)인 경우에 비균일 비율로 일반화된 텔레그래프 과정을 확장하고, 그 확률적 및 해석적 성질을 연구한다.
• 고차원 랜덤 운동의 투영을 평면에 적용하여 새로운 랜덤 속도 과정을 도출한다.
• 네 개의 수직 방향을 갖는 평면 운동을 위한 시간에 따라 변화하는 계수를 갖는 고차수 편미분방정식을 유도한다.

제안 방법

• 시간에 따라 변화하는 계수를 갖는 다차원 유클리드-포아송-다르부 방정식을 초기값 문제를 통해 풀이한다.
• 에르데리-코버 분수적 적분 변환을 적용하여 해를 파동 방정식과 D’Alembert의 해와 연결한다.
• EPD 방정식의 기본 해를 사용하여 d차원 랜덤 운동의 확률 밀도를 유도하며, ||x|| < ct일 때 p(x,t) = Γ(γ + d/2)/(π^{d/2}Γ(γ)(ct)^{d-2+2γ}) × (c²t² - ||x||²)^{γ-1} 으로 주어진다.
• N(t) = n인 조건부 밀도를 유도하며, 고정된 n에 대해 위치 분포가 반지름 ct인 원판 위에서 균일함을 보여준다.
• 두 경우를 분석한다: 방향 전환이 홀수 또는 짝수 순서의 푸아송 시간에만 일어나는 경우로, sinh 및 cosh 함수를 포함한 서로 다른 밀도를 도출한다.
• 시간에 따라 변화하는 계수를 갖는 텔레그래프 유사 방정식을 유도한다: ∂²p/∂t² + 2λ coth(λt) ∂p/∂t - c²Δp = 0 및 ∂²p/∂t² + 2λ tanh(λt) ∂p/∂t - c²Δp = 0.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 속도와 비균일 푸아송 전환 비율을 갖는 랜덤 운동은 유클리드-포아송-다르부 방정식의 해와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 전환 비율이 λ(t) = α/t일 때 d차원 랜덤 운동의 확률 밀도 함수의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ3 λ(t) = λ coth(λt)와 λ(t) = λ tanh(λt)일 때 분포는 어떻게 다를까, 특히 특이 성분 측면에서 어떻게 다른가?
• RQ4 방향 전환이 홀수 또는 짝수 순서의 푸아송 시간에만 일어나는 경우 평면 운동의 구조는 어떻게 되며, 이에 따른 밀도는 어떻게 다를까?
• RQ5 네 개의 수직 방향을 갖는 평면 랜덤 운동을 지배하는 시간에 따라 변화하는 계수를 갖는 고차수 편미분방정식은 무엇인가?

주요 결과

• λ(t) = α/t일 때 1차원 분포는 |x| < ct일 때 p(x,t) = 1/(B(α,1/2)ct)(1 - x²/(c²t²))^{α-1}로 주어지며, α = 1/2일 때 부채꼴 법칙의 일반화이다.
• d차원 기본 해는 ||x|| < ct일 때 p(x,t) = Γ(γ + d/2)/(π^{d/2}Γ(γ)(ct)^{d-2+2γ})(c²t² - ||x||²)^{γ-1}로 주어지며, 여기서 γ = α - (d-1)/2이다.
• λ(t) = λ coth(λt)일 때 평면 운동의 밀도는 P(dx,dy) = (λ/(2πc sinh(λt))) × cosh(λ/ c √(c²t² - x² - y²)) / √(c²t² - x² - y²) dx dy로 주어지며, 원판의 경계에서 발산한다.
• λ(t) = λ tanh(λt)일 때 평면 운동의 밀도는 P(dx,dy) = (λ/(2πc cosh(λt))) × sinh(λ/c √(c²t² - x² - y²)) / √(c²t² - x² - y²) dx dy로 주어지며, 경계 ∂C_{ct}에 대해 1 - 1/cosh(λt)의 크기를 갖는 특이 성분이 존재한다.
• 홀수 순서의 전환 시간을 갖는 운동은 텔레그래프 방정식 ∂²p/∂t² + 2λ coth(λt) ∂p/∂t - c²Δp = 0에 의해 지배된다.
• 짝수 순서의 전환 시간을 갖는 운동은 텔레그래프 방정식 ∂²p/∂t² + 2λ tanh(λt) ∂p/∂t - c²Δp = 0를 만족하며, 경계에 비영인 이산 성분이 존재한다.