[논문 리뷰] Random iteration with place dependent probabilities

Rafał Kapica, Maciej Ślęczka|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 04.

Mathematical Dynamics and Fractals인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 폴란드 공간 위에서 위치에 따라 달라지는 전이 확률을 갖는 함수의 무작위 반복에 의해 유도되는 마르코프 체인에 대해 유일한 불변 측도로의 지수 수렴을 확립한다. 상태에 의존하는 분포를 고려하는 새로운 커플링 접근법을 사용하여 기하학적 에르고딕성을 증명하고, ℝᵈ 상의 무작위 아핀 변환에 이 프레임워크를 적용하여, 상태에 따라 달라지는 확률을 갖는 새로운 '위치 의존 퍼피튜리티' 클래스를 도입하며, 이는 지수적으로 안정된 불변 분포를 갖는다.

ABSTRACT

Markov chains arising from random iteration of functions $S_θ:X o X$, $θ\in Θ$, where $X$ is a Polish space and $Θ$ is arbitrary set of indices are considerd. At $x\in X$, $θ$ is sampled from distribution $θ_x$ on $Θ$ and $θ_x$ are different for different $x$. Exponential convergence to a unique invariant measure is proved. This result is applied to case of random affine transformations on ${\mathbb R}^d$ giving existence of exponentially attractive perpetuities with place dependent probabilities.

연구 동기 및 목표

• 폴란드 공간 위에서 위치에 따라 달라지는 전이 확률을 갖는 마르코프 체인에 대해 유일한 불변 측도로의 지수 수렴을 확립하는 것.
• 전이 분포가 현재 상태에 따라 달라지는 경우에 대해 스토케스틱 재귀 방정식과 퍼피튜리티 이론을 확장하는 것.
• 서로 상호소거적인 전이 커널이 발생하는 상태 의존 확률을 다룰 수 있는 커플링 기반 방법을 개발하는 것.
• 일반적인 상태 의존 확률을 갖는 무작위 반복 설정에서 기하학적 에르고딕성을 보장하는 충분한 조건을 제공하는 것.
• 전이 확률이 현재 상태에 따라 달라지는 경우에 고전적 퍼피튜리티 결과를 일반화하는 것.

제안 방법

• 저자들은 점점 커플링 방법을 활용하여, 서로 다른 점에서 시작하는 궤적 간의 의존성을 유도하기 위해 X×X 위에 공동 마르코프 체인을 구성한다.
• 그들은 커플링된 체인의 전이 커널을 수축 부분 Qₓ,ᵧ 와 잔여 부분 Rₓ,ᵧ 로 분해하며, ∫d(u,v)Qₓ,ᵧ(du,dv) ≤ αd(x,y) 를 만족시키는 어떤 α∈(0,1) 를 확보한다.
• 이 방법은 α<1 인 균일한 수축률과 모든 x,y∈ℝᵈ 에 대해 전이 측도 μₓ∧μᵧ 의 균일한 하한이 존재함을 전제로 한다.
• 증명은 *-약한 위상에서의 수렴을 측정하기 위해 Fortet-Mourier 거리와, 전체 변동에서의 수렴을 측정하기 위해 워샤르슈타인 거리를 사용한다.
• 이 프레임워크는 (M,Q) 의 분포가 현재 상태 x 에 따라 달라지는 무작위 아핀 변환 x↦M(θ)x+Q(θ) 에 적용된다.
• 전체 변동 노름에서 x↦μₓ 의 허더링 연속성과 μₓ∧μᵧ 의 균일한 하한은 핵심 기술적 조건이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위치에 따라 달라지는 전이 확률을 갖는 마르코프 체인에 대해 유일한 불변 측도로의 지수 수렴을 확립할 수 있는가?
• RQ2 커플링 방법은 근접한 상태에서 서로 상호소거적인 전이 커널을 다룰 수 있도록 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ3 상태 의존 계수를 갖는 무작위 아핀 변환에 대해 유일하고 지수적으로 안정된 불변 측도가 존재하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 전이 확률이 현재 상태에 따라 달라질 경우, 퍼피튜리티 개념은 어떤 식으로 일반화되는가?
• RQ5 상태 의존 동역학 하에서 전체 변동 노름과 Fortet-Mourier 노름을 통해 수렴 속도를 정량화할 수 있는가?

주요 결과

• 폴란드 공간 위에서 위치에 따라 달라지는 함수의 무작위 반복에 의해 유도되는 마르코프 체인 (Xₙ)ₙ∈ℕ₀ 는 유일한 불변 측도 μ* 를 갖는다.
• μ* 로의 지수 수렴은 Fortet-Mourier 위상에서 성립한다: ‖P*ⁿμ − μ*‖_FM ≤ qⁿC(1 + ∫|x|μ(dx)) 를 만족하는 어떤 q∈(0,1) 과 C>0 가 존재한다.
• ℝᵈ 상의 무작위 아핀 변환에 대해, 불변 측도 μ* 는 ℳ₁¹(ℝᵈ) 에 속한다. 즉, 유한한 첫 번째 순간을 갖는다.
• 충분한 조건는 다음과 같다: supₓ∫||m||dμₓ(m,q) < 1, supₓ∫|q|dμₓ(m,q) < ∞, 그리고 전체 변동 노름에서 x↦μₓ 의 허더링 연속성.
• 모든 x,y∈ℝᵈ 에 대해 μₓ∧μᵧ({(m,q):||m||≤α}) 의 균일한 하한 δ>0 이 존재하면 커플링 메커니즘이 작동함을 보장한다.
• 이 결과는 계수 (M,Q) 의 분포가 현재 상태 x 에 따라 달라지도록 允허하는 바탕에서 고전적 퍼피튜리티 이론을 일반화한다.