[논문 리뷰] Random motions with space-varying velocities

Roberto Garra, Enzo Orsingher|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 15.

Diffusion and Search Dynamics참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 선형 및 평면에서 공간에 따라 변하는 속도를 갖는 랜덤 운동을 조사하며, 일반화된 텔레그래프 방정식과 유클리드-파이송-다르부(Euler-Poisson-Darboux, EPD) 방정식을 풀어 입자 위치에 대한 명시적인 확률 분포를 유도한다. 주요 기여는 공간에 따라 변화하는 속도를 갖는 감쇠파 방정식의 해석적 해를 도출한 것으로, 분포의 지지체가 초타원형(superellipses, 예: 아스로이드) 형태를 띠며, 다항식 속도 프로파일과 분수형 EPD 유형 방정식에 대해 정확한 해를 제공한다.

ABSTRACT

Random motions on the line and on the plane with space-varying velocities are considered and analyzed in this paper. On the line we investigate symmetric and asymmetric telegraph processes with space-dependent velocities and we are able to present the explicit distribution of the position $\mathcal{T}(t)$, $t>0$, of the moving particle. Also the case of a non-homogeneous Poisson process (with rate $λ= λ(t)$) governing the changes of direction is analyzed in three specific cases. For the special case $λ(t)= α/t$ we obtain a random motion related to the Euler-Poisson-Darboux (EPD) equation which generalizes the well-known case treated e.g. in Foong and Van Kolck (1992), Garra and Orsingher (2016) and Rosencrans (1973). A EPD--type fractional equation is also considered and a parabolic solution (which in dimension $d=1$ has the structure of a probability density) is obtained. Planar random motions with space--varying velocities and infinite directions are finally analyzed in Section 5. We are able to present their explicit distributions and for polynomial-type velocity structures we obtain the hyper and hypo-elliptic form of their support (of which we provide a picture).

연구 동기 및 목표

• 일차원 및 평면에서 고전적인 텔레그래프 과정을 공간에 따라 변화하는 속도를 포함하도록 확장한다.
• 방향 전환이 비균일한 포아송 과정에 의해 제어될 경우 입자 위치에 대한 명시적인 확률 법칙을 도출한다.
• 다항식 속도 함수를 갖는 평면 랜덤 운동의 지지체 기하학적 구조를 분석한다.
• 공간에 따라 변화하는 속도와 분수형 형태를 포함하도록 유클리드-파이송-다르부 방정식을 일반화한다.
• 랜덤 비행 모델과 계수 변수를 갖는 감쇠파 방정식 간의 관계를 설정한다.

제안 방법

• 공간에 따라 변화하는 속도를 갖는 변수 계수 텔레그래프 방정식을 $ y = \int_0^x \frac{dx'}{c(x')} $의 변수 치환을 통해 고전적 형태로 변환하여 명시적 해를 도출한다.
• 특성선 방법과 수정 Bessel 함수 항등식을 사용하여 공간에 따라 변화하는 $ c(x) $를 갖는 일차원 텔레그래프 방정식을 풀어 $ I_0 $ 및 디랙 델타 함수를 포함하는 확률 밀도를 도출한다.
• 평면에서 감쇠파 방정식에 공간에 따라 변화하는 $ c_1(x), c_2(y) $를 갖는 경우, 유사한 치환 $ u = \int_0^x \frac{dw}{c_1(w)}, v = \int_0^y \frac{dz}{c_2(z)} $를 적용하여 표준 형태로 축소한다.
• 시간 간격에 대한 적분과 제1종 베셀 함수를 사용하여 위치 벡터 $ (X(t), Y(t)) $ 가 $ N(t) = n $ 인 조건부 특성 함수를 유도한다.
• 모든 가능한 방향 전환 수 $ n $ 에 대해 합을 구함으로써 전체 확률 밀도를 구성하며, 이는 $ J_0 $ 함수를 포함하는 급수 형태의 해로 이어진다.
• 거듭제곱 법칙 속도 함수 $ c_j(x) \propto |x|^\gamma $ 에 대해 분포의 지지체 $ \mathcal{D}_{\gamma,\beta} $ 를 분석하여 초타원형(Lamé 곡선)을 형성함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간에 따라 변화하는 속도 $ c(x) $ 가 일차원 텔레그래프 과정의 확률 분포에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 각 좌표에서 위치에 따라 변화하는 속도를 갖는 평면 랜덤 운동의 지지체 기하학적 구조는 어떠한가?
• RQ3 공간에 따라 변화하는 속도를 포함하도록 유클리드-파이송-다르부 방정식을 일반화할 수 있으며, 그 결과로 도출되는 해는 무엇인가?
• RQ4 시간에 따라 변화하는 비율 $ \lambda(t) $ 를 갖는 비균일한 포아송 과정이 공간에 따라 변화하는 속도와 함께 작용할 경우 운동의 분포에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 분수형 도함수는 공간에 따라 변화하는 속도를 갖는 랜덤 운동을 모델링하는 데 어떤 역할을 하며, 비음수 해를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 공간에 따라 변화하는 속도 $ c(x) $ 를 갖는 일차원 대칭 텔레그래프 과정의 경우, 위치 밀도는 수정 Bessel 함수 $ I_0 $, 디랙 델타 함수, 그리고 도메인 $ D $ 에서의 특성 함수를 포함하는 공식으로 명시적으로 주어지며, 여기서 $ D $ 는 $ \left| \int_0^x \frac{dx'}{c(x')} \right| < t $ 로 정의된다.
• 만약 $ \lambda(t) = \alpha / t $ 이면, 모델은 유클리드-파이송-다르부 방정식과 관련된 해를 도출하며, 이는 이전 연구에서 알려진 결과를 일반화한다.
• 속도가 $ c_1(x), c_2(y) $ 인 평면 운동의 경우, 지지체 $ \mathcal{D}_{\gamma,\beta} $ 는 $ \left( \frac{c_1 |x|^{1-\gamma}}{1-\gamma} \right)^2 + \left( \frac{c_2 |y|^{1-\beta}}{1-\beta} \right)^2 < t^2 $ 로 정의된 초타원형이며, $ \gamma = \beta = 2/3 $ 일 때 아스로이드를 포함한다.
• 분리 가능한 공간에 따라 변화하는 속도 $ c_j(x_j) $ 를 갖는 $ d $ 차원 운동의 확률 밀도는 $ \Gamma $-함수와 시간-거리 항의 거듭제곱을 포함하는 닫힌 형태의 표현식으로 주어지며, 이는 $ \sum_{j=1}^d \left| \int_0^{x_j} \frac{du_j}{c_j(u_j)} \right|^2 < t^2 $ 일 때 유효하다.
• 만약 $ c_1(x) = c_1 $, $ c_2(y) = c_2 $ 이면 지지체는 타원 $ c_1^2 |x|^2 + c_2^2 |y|^2 < t^2 $ 로 축소되며, 이는 기존 결과와 일치함을 확인한다.
• 만약 $ c_j(x) \propto |x|^{2/3} $ 이면 지지체의 경계는 아스로이드가 되며, $ c_1 = c_2 = 1/3 $ 일 때 경계는 정확히 아스로이드 $ 9|x|^{2/3} + 9|y|^{2/3} < t^2 $ 가 된다.