[논문 리뷰] Random Sets and Invariants for (Type II) Continuous Tensor Product Systems of Hilbert Spaces

Volkmar Liebscher|ArXiv.org|2003. 06. 25.

Fuzzy and Soft Set Theory인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 [0,1] 또는 R+ 상의 임의의 닫힌 집합의 정적이고 분해 가능한 측도 유형과 유형 II의 연속 텐서곱 체계(Hilbert 공간, CTPS) 사이의 대응을 설정하며, 이러한 측도 유형이 불변량으로서 기능함을 보여준다. 이는 모든 이러한 측도 유형이 고유한 CTPS를 생성함을 증명하고, 유형 III CTPS의 분류 문제를 유형 II로 환원하며, CTPS의 가측 구조가 그 대수적 구조에 의해 유일하게 결정됨을 보여준다.

ABSTRACT

In a series of papers Tsirelson constructed from measure types of random sets and generalised random processes a new range of examples for continuous tensor product systems of Hilbert spaces introduced by Arveson for classifying $E_0$-semigroups. This paper establishes the converse: Each continuous tensor product systems of Hilbert spaces comes with measure types of distributions of random (closed) sets in [0,1] or $R_+$. These measure types are stationary and factorise over disjoint intervals. In a special case of this construction, the corresponding measure type is an invariant of the product system and the range of the invariant is characterized. Moreover, based on a detailed study of this kind of measure types, we construct for each stationary factorizing measure type a continuous tensor product systems of Hilbert spaces such that this measure type arises as the before mentioned invariant. The measure types of the above described kind are connected with representations of the corresponding $L^\infty$-spaces. This leads to direct integral representations of the elements of a given product system which combine well under tensor products. Using this structure in a constructive way, we can relate to any (type III) product system a product system of type $II_0$ preserving isomorphy classes. Thus, the classification of type III product systems reduces to that of type II ones. Further, we show that all consistent measurable structures on an algebraic continuous tensor product systems of Hilbert spaces yield isomorphic product systems. Thus the measurable structure of a continuous tensor product systems of Hilbert spaces is essentially determined by its algebraic one.

연구 동기 및 목표

• . 이 논문은 유형 II 시스템에 대한 불변량으로서의 무작위 집합 측도 유형을 도입하여 연속 텐서곱 체계(CTPS)의 분류를 완성하고자 한다.
• . 이는 Tsyreln의 구성의 역을 확립하여 CTPS와 무작위 닫힌 집합의 분포를 연결하고자 한다.
• . 정적이고 분해 가능한 측도 유형이 유형 II CTPS를 완전히 결정함을 보여줌으로써 분류 체계를 통합하고자 한다.
• . 직접 적분 표현과 L∞-표현이 CTPS를 분석하고 구성하는 데 어떻게 사용될 수 있는지 조사한다.
• . CTPS의 가측 구조가 그 대수적 구조에 의해 유일하게 결정됨을 보여주어 분류의 모호성을 제거하고자 한다.

제안 방법

• . 이 논문은 유닛과 분해 가능한 사영을 사용하여 [0,1] 또는 R+ 상의 무작위 닫힌 집합의 측도 유형으로 CTPS에서 사상함을 구축한다.
• . 측도 유형이 이웃하지 않는 간격에서 정적이고 분해 가능하다는 것을 증명하여 CTPS의 불변량임을 보인다.
• . 측도 유형과 관련된 L∞-대수의 표현을 통한 CTPS 원소의 직접 적분 표현을 사용한다.
• . 정적이고 분해 가능한 측도 유형과 CTPS 사이에 전사적 대응을 확립하여, 모든 이러한 측도 유형이 고유한 CTPS를 생성함을 보였다.
• . GNS 유형의 표현과 대수적 구조를 사용하여 CTPS 위에 내재된 가측 구조를 정의한다.
• . 단일 주기적 유니터리 군의 연속성이 가용한 가측 구조의 존재를 보장하며, 모든 이러한 구조가 동형인 CTPS를 유도함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . [0,1] 또는 R+ 상의 임의의 닫힌 집합에 대해 정적이고 분해 가능한 측도 유형이 연속 텐서곱 체계(Hilbert 공간, CTPS)를 구성하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ2 . CTPS의 유형 II에 관련된 무작위 집합의 측도 유형은 그 시스템을 동형에 대해 분류하는 불변량인가?
• RQ3 . 연속 텐서곱 체계의 가측 구조는 그 대수적 구조에만 의존하는가, 아니면 서로 동형이 아닌 여러 가측 구조가 존재하는가?
• RQ4 . 해당 유형 II 시스템을 구성함으로써, 유형 III CTPS의 분류 문제를 유형 II(또는 유형 II0) CTPS의 분류 문제로 환원할 수 있는가?
• RQ5 . CTPS의 자동형사상은 정규화된 유닛 위에서 추이적으로 작용하는가? 이는 불변량과 구조 이론에 어떤 영향을 미칠 수 있는가?

주요 결과

• . [0,1] 또는 R+ 상의 임의의 닫힌 집합에 대해 정적이고 분해 가능한 측도 유형은 고유한 연속 텐서곱 체계(Hilbert 공간, CTPS)를 유도한다.
• . CTPS의 유형 II에 관련된 무작위 집합의 측도 유형은 그 시스템을 동형에 대해 분류하는 불변량이다.
• . 연속 텐서곱 체계의 가측 구조는 그 대수적 구조에 의해 유일하게 결정되므로, 모든 가용한 가측 구조는 동형인 시스템을 유도한다.
• . 유형 III 연속 텐서곱 체계의 분류 문제는 동형류를 유지하는 구성 방법을 통해 유형 II(또는 심지어 유형 II0) 시스템의 분류 문제로 환원된다.
• . CTPS의 직접 적분 표현은 텐서곱과 호환되며, 측도 유형의 L∞-표현으로 자연스럽게 유도된다.
• . CTPS에서 그에 관련된 무작위 집합의 측도 유형으로의 사상은 전사적이며, 모든 이러한 측도 유형이 어떤 CTPS로부터 유도됨을 의미한다.