[논문 리뷰] Random Switching between Vector Fields Having a Common Zero

Michel Benaı̈m, Édouard Strickler|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 10.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 원점에서 공통의 영을 가지는 벡터장들 사이를 랜덤하게 전환하는 조각별 결정론적 마르코프 과정(PDMPs)을 연구한다. 평형점 주변의 선형화된 시스템을 분석함으로써, 최상위 리아프노프 지수는 장기적 행동을 결정함을 입증한다: 음수일 경우 과정은 지수적으로 원점으로 수렴하고, 양수일 경우 비가역성과 초타원성 조건 하에서 원점에서 벗어난 곳에 지지되는 유일한 불변 측도로 분포 수렴한다.

ABSTRACT

Let $E$ be a finite set, $\{F^i\}_{i \in E}$ a family of vector fields on $\mathbb{R}^d$ leaving positively invariant a compact set $M$ and having a common zero $p \in M.$ We consider a piecewise deterministic Markov process $(X,I)$ on $M imes E$ defined by $\dot{X}_t = F^{I_t}(X_t)$ where $I$ is a jump process controlled by $X:$ $\Pr(I_{t+s} = j | (X_u, I_u)_{u \leq t}) = a_{i j}(X_t) s + o(s)$ for $i eq j$ on $\{I_t = i \}.$ We show that the behavior of $(X,I)$ is mainly determined by the behavior of the linearized process $(Y,J)$ where $\dot{Y}_t = A^{J_t} Y_t,$ $A^i$ is the Jacobian matrix of $F^i$ at $p$ and $J$ is the jump process with rates $(a_{ij}(p)).$ We introduce two quantities $Λ^-$ and $Λ^+$ respectively %called the {\em minimal} and {\em maximal average growth rate.} $Λ^-$ (respectively $Λ^+$) is defined as the {\em minimal} (respectively {\em maximal}) {\em growth rate} of $\|Y_t\|,$ where the minimum (respectively maximum) is taken over all the ergodic measures of the angular process $(Θ, J)$ with $Θ_t = \frac{Y_t}{\|Y_t\|}.$ It is shown that $Λ^+$ coincides with the top Lyapunov exponent (in the sense of ergodic theory) of $(Y,J)$ and that under general assumptions $Λ^- = Λ^+.$ We then prove that, under certain irreducibility conditions, $X_t o p$ exponentially fast when $Λ^+ < 0$ and $(X,I)$ converges in distribution at an exponential rate toward a (unique) invariant measure supported by $M \setminus \{p\} imes E$ when $Λ^- > 0.$ Some applications to certain epidemic models in a fluctuating environment are discussed and illustrate our results.

연구 동기 및 목표

• 벡터장들이 원점에서 공통의 평형점을 가지는 PDMP의 장기적 행동을 이해하기 위해.
• 과정이 평형점으로 수렴(멸종)하는지 또는 그로부터 지속되는지(스토캐스틱 지속성)를 결정하는 조건을 규명하기 위해.
• 선형화된 시스템의 최상위 리아프노프 지수와 비선형 시스템의 渐近 행동 사이의 연결 고리를 설정하기 위해.
• 상태에 따라 변하는 전환율과 컴act 불변집합을 가진 시스템으로까지 지수 수렴과 불변 측도 결과를 확장하기 위해.
• 변동 환경에서의 전염병 모델에 이 프레임워크를 적용하여 지속성 및 멸종 시나리오를 설명하기 위해.

제안 방법

• 상태에 따라 변화하는 전환율 $a_{ij}(x)$를 가진 점프 과정 $I_t$를 고려하여 PDMP 역학을 $\dot{X}_t = F^{I_t}(X_t)$로 수식화한다.
• 공통의 영점 $p=0$ 주변에서 시스템을 선형화하여 $\dot{Y}_t = A^{J_t} Y_t$를 도출하며, 여기서 $A^i$는 $F^i$의 0에서의 야코비안이다.
• 각도 과정 $\Theta_t = Y_t / \|Y_t\|$를 정의하고, 그의 에르고딕 측도를 분석하여 성장률 $\Lambda^-$ 및 $\Lambda^+$를 정의한다.
• 최상위 리아프노프 지수 $\Lambda^+$가 선형화된 시스템 $(Y,J)$의 최대 성장률과 일치하고, 일반 조건 하에서 $\Lambda^- = \Lambda^+$임을 보인다.
• 스토캐스틱 지속성 이론을 활용하여 $\Lambda^- > 0$일 경우 불변 측도로의 수렴을 증명하고, $\Lambda^+ < 0$일 경우 원점으로의 거의 확실한 수렴을 입증한다.
• 결과를 환경 변화가 있는 전염병 모델에 적용하여 전환율이 질병의 지속성 또는 멸종에 미치는 영향을 설명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 벡터장들의 공통 영점으로 PDMP가 거의 확실하고 지수적으로 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 선형화된 시스템의 최상위 리아프노프 지수가 비선형 전환 과정의 장기적 행동을 어떻게 결정하는가?
• RQ3 과정이 분포 수렴을 보이며, $M \setminus \{0\} \times E$에 지지되는 유일한 불변 측도로 수렴하는 경우는 언제인가?
• RQ4 비가역성과 초타원성(Hörmander 유형) 조건은 지수 수렴과 불변 측도의 유일성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이 프레임워크는 랜덤하게 전환하는 환경에서의 질병 역학을 모델링하는 데 어떻게 적용될 수 있으며, 지속성 또는 멸종을 결정짓는 요소는 무엇인가?

주요 결과

• 선형화된 시스템 $\dot{Y}_t = A^{J_t} Y_t$의 최상위 리아프노프 지수 $\Lambda^+$는 각도 과정의 에르고딕 측도에 대해 $\|Y_t\|$의 최대 성장률 $\Lambda^+$와 일치한다.
• 일반적인 가정 하에서 최소 및 최대 성장률은 $\Lambda^- = \Lambda^+$를 만족하며, 이는 선형화된 시스템에 대해 유일한 지수 성장률이 있음을 의미한다.
• 만약 $\Lambda^+ < 0$이면, $X_t \to 0$ 거의 확실하고 지수적으로 수렴하며, 원점 근처에서의 과정의 멸종을 나타낸다.
• 만약 $\Lambda^- > 0$이면, 과정 $(X_t, I_t)$는 $M \setminus \{0\} \times E$에 지지되는 유일한 불변 확률 측도로 분포 수렴하며, 이는 스토캐스틱 지속성을 나타낸다.
• 비가역성과 초타원성 조건 하에서, 불변 측도로의 전체 변동 거리에서의 지수 수렴이 확립된다.
• 전염병 모델에의 적용 결과, 개별 벡터장이 불안정하더라도 전환율의 부호에 따라 환경 상태 전환에 의해 지속성 또는 멸종이 발생할 수 있음을 보여준다.