[논문 리뷰] Random tensors, propagation of randomness, and nonlinear dispersive equations

Yu Deng, Andrea R. Nahmod외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 16.

Meteorological Phenomena and Simulations참고 문헌 38인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 비선형 분산 방정식, 특히 무작위 초깃값을 가진 준선형 슈뢰딩거 방정식에서 무작위성의 전파를 연구하기 위해 무작위 텐서의 새로운 이론을 제안한다. 랜덤 평균 연산자의 확장과 적응된 텐서 계수를 가진 다중선형 가우시안 전개를 사용하여, 확률적 스케일링 하에서 전체 준임계적 영역에서 거의 확실한 국소 적으로 잘 정의된 해를 확립한다. 이는 [32]의 추측 1.7을 해결한다.

ABSTRACT

Abstract. The purpose of this paper is twofold. We introduce the theory of random tensors, which naturally extends the method of random averaging operators in our earlier work arXiv:1910.08492, to study the propagation of randomness under nonlinear dispersive equations. By applying this theory we also solve Conjecture 1.7 in arXiv:1910.08492, and establish almost-sure local well-posedness for semilinear Schrödinger equations in spaces that are subcritical in the probabilistic scaling. The solution we find has an explicit expansion in terms of multilinear Gaussians with adapted random tensor coefficients. In the random setting, the probabilistic scaling is the natural scaling for dispersive equations, and is different from the natural scaling for parabolic equations. Our theory, which covers the full subcritical regime in the probabilistic scaling, can be viewed as the dispersive counterpart of the existing parabolic theories (regularity structure, para-controlled calculus and renormalization group techniques).

연구 동기 및 목표

• 정규화 구조와 파라-컨트롤리드 미적분학과 같은 포물선 이론의 산란 대응체를 개발하기 위해.
• 확률적 스케일링 하에서 비선형 분산 방정식에서의 무작위성 전파를 다루기 위해.
• 준선형 슈뢰딩거 방정식에 대한 거의 확실한 국소 적으로 잘 정의된 해에 관한 [32]의 추측 1.7을 해결하기 위해.
• 슈뢰딩거 방정식을 초월한 일반적인 분산 관계에 적용 가능한 프레임워크를 구축하기 위해.
• 비선형 방정식과 장기적 영역으로의 이론 확장을 위한 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 적응된 텐서 계수를 가진 다중선형 가우시안 전개를 사용하여, 랜덤 평균 연산자의 일반화로서 무작위 텐서를 도입한다.
• 비선형 상호작용을 제어하기 위해 텐서 노름과 격자점 수세기의 핵심 가정을 사용한다.
• 대부분의 장애물과 텐서 노름 추정을 사용하여 해 성분의 사전 경계를 유도한다.
• 다중선형 상호작용에서 과다 계수와 쌍을 이루는 것을 관리하기 위해 자르기와 융합 추정을 개발한다.
• 분산 관계의 수세기 한계에 맞게 조정된 선택 알고리즘을 사용하여, 포물선 케이스와 다름을 보인다.
• 스토케스틱 강제항과 일반적인 분산 관계를 고려하기 위해 시간 조절 변수를 텐서 구조에 통합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 분산 방정식의 흐름 하에서 무작위성이 어떻게 전파되는가, 특히 준임계적 영역에서 어떻게 전파되는가?
• RQ2 랜덤 평균 연산자의 방법이 확률적 스케일링 하에서 전체 준임계적 잘 정의된 해를 달성하기 위해 일반화될 수 있는가?
• RQ3 준선형 슈뢰딩거 방정식의 무작위 자료 설정에서 거의 확실한 국소 적으로 잘 정의된 해의 올바른 임계값은 무엇인가?
• RQ4 이론이 슈뢰딩거 방정식을 초월한 다른 분산 관계로 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ5 무작위 텐서 프레임워크는 비선형 또는 장기적 산란 문제에 어떻게 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 [32]의 추측 1.7을 해결하여, 확률적 스케일링 하에서 준선형 슈뢰딩거 방정식의 전체 준임계적 영역에서 거의 확실한 국소 적으로 잘 정의된 해를 증명한다.
• 해는 다중선형 가우시안과 적응된 무작위 텐서 계수의 명시적 전개로 구성된다.
• 이론은 확률적 스케일링 하에서 전체 준임계적 잘 정의된 해를 달성하며, 정규화 구조를 통한 포물선 SPDE의 전체 그림과 유사하다.
• 이 방법은 일반적인 분산 관계에 적용 가능하며, 특정 분산 관계에 따라 수세기 추정과 선택 알고리즘을 수정한다.
• 시간 조절 변수를 텐서 구조에 통합함으로써, 이론은 스토케스틱 강제항과 가감성 노이즈로의 확장을 보여준다.
• 논문은 비선형 방정식과 장기적 글로벌 잘 정의된 해로의 이론 확장을 위한 열린 문제를 규명한다.