[논문 리뷰] Random triangle removal

Tom Bohman, Alan Frieze외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 19.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 볼로바스와 에르되시(1990)가 제기한 오랜 추측을 해결한다. 즉, $n$개의 정점을 가진 완전 그래프에서 무작위 삼각형 제거 과정이 높은 확률로 $n^{3/2+o(1)}$개의 간선을 남긴다는 것이다. 저자들은 키워드로 작용하는 그래프 매개변수의 농도를 자기보정 마팅게일 시스템을 통해 확립하여, 최종적으로 삼각형이 없는 그래프가 점점 더 $n^{3/2+o(1)}$개의 간선을 가지게 되며, 스펜서 등이 예측한 지수를 확인하고 예측과 일치시킨다.

ABSTRACT

Starting from a complete graph on $n$ vertices, repeatedly delete the edges of a uniformly chosen triangle. This stochastic process terminates once it arrives at a triangle-free graph, and the fundamental question is to estimate the final number of edges (equivalently, the time it takes the process to finish, or how many edge-disjoint triangles are packed via the random greedy algorithm). Bollobás and Erdős (1990) conjectured that the expected final number of edges has order $n^{3/2}$, motivated by the study of the Ramsey number $R(3,t)$. An upper bound of $o(n^2)$ was shown by Spencer (1995) and independently by Rödl and Thoma (1996). Several bounds were given for variants and generalizations (e.g., Alon, Kim and Spencer (1997) and Wormald (1999)), while the best known upper bound for the original question of Bollobás and Erdős was $n^{7/4+o(1)}$ due to Grable (1997). No nontrivial lower bound was available. Here we prove that with high probability the final number of edges in random triangle removal is equal to $n^{3/2+o(1)}$, thus confirming the 3/2 exponent conjectured by Bollobás and Erdős and matching the predictions of Spencer et al. For the upper bound, for any fixed $ε>0$ we construct a family of $\exp(O(1/ε))$ graphs by gluing $O(1/ε)$ triangles sequentially in a prescribed manner, and dynamically track all homomorphisms from them, rooted at any two vertices, up to the point where $n^{3/2+ε}$ edges remain. A system of martingales establishes concentration for these random variables around their analogous means in a random graph with corresponding edge density, and a key role is played by the self-correcting nature of the process. The lower bound builds on the estimates at that very point to show that the process will typically terminate with at least $n^{3/2-o(1)}$ edges left.

연구 동기 및 목표

• 볼로바스와 에르되시(1990)의 추측을 해결한다. 즉, $K_n$에서 무작위 삼각형 제거 과정이 높은 확률로 $n^{3/2+o(1)}$개의 간선을 남긴다는 것이다.
• 최고의 알려진 상한 $n^{7/4+o(1)}$과 최종 간선 수에 대한 비잔재성의 하한 사이의 격차를 메운다.
• 자신보정 마팅게일의 새로운 응용을 통해, 작은 루트가 있는 그래프에서의 호모모르피즘 수를 포함한 광범위한 그래프 매개변수의 농도를 확립한다.
• 무작위 그레디 삼각형 패킹 과정이 $n^{3/2+o(1)}$개의 간선으로 종료됨을 증명하여, 스펜서 등이 예측한 $3/2$ 지수를 확인한다.

제안 방법

• 저자들은 $O(1/\varepsilon)$개의 삼각형을 제어 가능한 방식으로 붙여서 만든 $\exp(O(1/\varepsilon))$개의 소형 그래프의 집합을 도입하며, 이들은 호모모르피즘 수를 추적하기 위한 템플릿으로 기능한다.
• 이 템플릿에서 유도된 랜덤 변수 $Y_{u,v}$를 정의하여, 정점 쌍에 루트가 있는 그래프로의 호모모르피즘 수를 추적하고, 그 변화를 동적으로 분석한다.
• 에르되시–레니의 무작위 그래프에서 동일한 간선 밀도를 가진 상황에서 기대값 주위의 농도를 보여주기 위해 마팅게일 시스템을 구성한다.
• 과정의 자기보정 성격 덕분에 평균에서의 이탈은 강력한 복귀 추세를 유도하며, 복잡한 의존성에도 불구하고 농도를 가능하게 한다.
• 공통 이웃 수를 제어하고 사건 확률을 조절하기 위해 공통도 가정을 사용하여, $n^{3/2+\varepsilon}$개의 간선이 남는 순간까지 분석을 수행한다.
• 최종 하한은, 모든 삼각형의 균일한 무작위 순서로 처리되는 방식을 이용해, 특별히 선택된 집합 $\mathscr{X}_{\star}$에 속한 삼각형 중 일정 비율이 끝까지 생존한다는 것을 보여서 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전 그래프에서 반복적으로 무작위로 간선이 분리된 삼각형을 제거하여 더 이상 삼각형이 없어지기까지 남는 간선의 점점 더 큰 수는 무엇인가?
• RQ2 볼로바스와 에르되시가 추측한 바와 같이, 무작위 그레디 삼각형 제거 과정이 높은 확률로 $n^{3/2+o(1)}$개의 간선을 남기는가?
• RQ3 과정의 자기보정 행동을 엄밀하게 활용하여, 시간이 지남에 따라 복잡한 그래프 매개변수의 농도를 증명할 수 있는가?
• RQ4 호모모르피즘 수를 사용해 과정의 최종 간선 수를 하한으로 제시할 수 있는 소형 그래프의 집합을 구성할 수 있는가?
• RQ5 간선 삭제와 삼각형 발생 간의 의존성은 랜덤 그레디 패킹 과정의 최종 결과에 어떻게 影향을 미치는가?

주요 결과

• 무작위 삼각형 제거 과정에서 최종 간선 수는 높은 확률로 $n^{3/2+o(1)}$개이며, 볼로바스와 에르되시(1990)의 추측을 확인한다.
• 그라블의 상한 $n^{7/4+o(1)}$은 $n^{3/2+o(1)}$으로 향상되어 하한과 일치하며 지수 격차가 해소된다.
• 과정은 자기보정 역학을 보인다: 호모모르피즘 수의 이탈은 기대값으로 되돌리는 강력한 추세를 유도하며, 의존성에도 불구하고 농도를 가능하게 한다.
• $\exp(O(1/\varepsilon))$개의 소형 그래프의 집합이 사용되어 호모모르피즘 수를 추적하며, 그 행동이 에르되시–레니 무작위 그래프의 해당 값 주위에 집중된다는 것이 입증된다.
• $n^{3/2-6\varepsilon-o(1)}$개의 간선이 생존한다는 것은, 유리한 처리 순서로 인해 간선이 생존한 삼각형의 수에 이항 하한을 적용하여 유도된다.
• 결과는 스펜서 등이 예측한 바를 확인하며, 조엘 스펜서가 $n^{3/2+o(1)}$ 상한을 증명한 데 대해 수여한 200달러 상금을 해결한다.