[논문 리뷰] Random Tug of War games for the ${\mathbf p}$-Laplacian: ${\mathbf{1<p<{\boldsymbol \infty}}}$

Marta Lewicka|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 08.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $1 < p < \infty$인 $p$-라플라시안을 위한 새로운 노이즈가 있는 터그 오브 워 게임을 제안한다. 이 게임은 구 위에서의 결정론적 최소-최대 평균화와 $p$ 및 $N$에 따라 변하는 비율을 갖는 $N$차원 타원체 위에서의 확률적 평균화를 결합한다. 이로 인해 유도된 동적 프ogramming 원리에 의해 연속적인 해가 보장되며, 이는 외부 stopcock 조건을 만족하는 도메인에서 $\Delta_p u = 0$의 디리클레 문제의 유일한 점성 해로 균일 수렴하게 된다. 이는 corkscrew 조건 하에서 게임의 정규성을 확립한다.

ABSTRACT

We propose a new finite difference approximation to the Dirichlet problem for the homogeneous $\mathbf{p}$-Laplace equation posed on an $N$-dimensional domain, in connection with the Tug of War games with noise. Our game and the related mean-value expansion that we develop, superposes the ``deterministic averages'' ``$\frac{1}{2}(\inf +\sup)$'' taken over balls, with the ``stochastic averages'' ``$\fint$'', taken over $N$-dimensional ellipsoids whose aspect ratio depends on $N,\mathbf{p}$ and whose orientations span all directions while determining $\inf / \sup$. We show that the unique solutions $u_\epsilon$ of the related dynamic programming principle are automatically continuous for continuous boundary data, and coincide with the well-defined game values. Our game has thus the min-max property: the order of supremizing the outcomes over strategies of one player and infimizing over strategies of their opponent, is immaterial. We further show that domains satisfying the exterior corkscrew condition are game regular in this context, i.e. the family $\{u_\epsilon\}_{\epsilon o 0}$ converges uniformly to the unique viscosity solution of the Dirichlet problem.

연구 동기 및 목표

• homogeneous $p$-라플라시안 $\Delta_p u = 0$를 위한 유한차분 근사법을 새로운 확률적 게임 이론적 프레임워크를 사용하여 개발하기.
• 이전의 노이즈가 있는 터그 오브 워 게임에서의 정규성과 가측성 부족 문제를 해결하기 위해 내재된 연속성과 잘 정의된 게임 값이 있는 게임을 구축하기.
• 동적 프로그래밍 원리의 해가 연속적이며 게임 값과 일치함을 보장함으로써 최소-최대 성질이 유지됨을 입증하기.
• $\epsilon \to 0$일 때 해의 집합 $\{u_\epsilon\}$이 게임 정규 도메인에서 디리클레 문제의 유일한 점성 해로 균일 수렴함을 증명하기.

제안 방법

• 구 위에서의 결정론적 평균화 $\frac{1}{2}(\inf + \sup)$와 $N$차원 타원체 $E(x, r; \alpha, \nu)$ 위에서의 확률적 평균화를 조합한 평균값 전개를 제안한다. 여기서 비율 $\alpha_p$는 $p$와 $N$에 따라 달라진다.
• 식 (1.3)을 유도하여 $\gamma_p$와 $\alpha_p$를 포함한 가중 평균을 통해 $\Delta_p u$를 식별한다. 이때 호환 조건 $\frac{N+2}{\gamma_p^2} + a_p^2 = p - 1$이 성립한다.
• 두 명의 플레이어가 참가하는 0합 게임을 도입한다. 이 게임에서 이동은 동전 던지기와 이전 이동에 수직인 고차원에서의 코드임이 2인 타원면 위에 균일하게 분포된 노이즈 벡터를 통해 갱신되며, 스케일링 인자 $\gamma_p = \sqrt{\frac{N-1}{p-1}}$를 사용한다.
• corkscrew 조건을 이용하여 게임 정규성을 증명한다: 이 기하 조건을 만족하는 도메인에 대해서는 게임이 거의 확실하게 종료되며, 해가 균일하게 수렴함을 보장한다.
• Ascoli-Arzela 정리와 점성 해 이론을 적용하여 $u_\epsilon$의 극한이 $D$ 내부에서 $\Delta_p u = 0$의 유일한 점성 해이며, $\partial D$에서 $u = F$임을 식별한다.
• 게임 값이 연속적이며 동적 프로그래밍 원리의 해와 일치함을 입증함으로써, 전략 순서에 관계없이 최소-최대 성질이 유지됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 노이즈가 있는 터그 오브 워 게임을 구성할 수 있는가? 이때 그 가치 함수는 연속적이며 $\Delta_p u = 0$에 대한 유한차분 스킴의 해와 일치하는가?
• RQ2 타원체 평균화와 노이즈를 갖는 제안된 게임이 최소-최대 성질을 보장하는가? 즉, 플레이어 전략의 순서가 결과에 영향을 주지 않는가?
• RQ3 어떤 도메인에서 게임이 정규적인가? 즉, $\epsilon \to 0$일 때 해 $u_\epsilon$이 점성 해로 균일 수렴하는가?
• RQ4 $\nabla u(x)$의 사전 지식 없이도 평균값 전개 (1.3)을 유도할 수 있는가? 이를 통해 연속성만 보장되는 $p$-조화 함수를 식별할 수 있는가?
• RQ5 corkscrew 조건 하에서 $u_\epsilon$의 수렴이 균일하고 유일한가?

주요 결과

• 제안된 게임은 연속적인 경계 데이터를 갖는 경우 동적 프로그래밍 원리의 해 $u_\epsilon$가 연속적임을 보장하며, 이는 경계 함수 $F$의 정규성과 일치한다.
• 게임 값은 잘 정의되어 있으며 해 $u_\epsilon$과 일치함으로써 이전의 설정에서 나타났던 가측성 및 정규성 문제를 해결한다.
• 최소-최대 성질이 성립한다: 플레이어 전략에 대해 초과 및 하한을 취하는 순서는 영향을 주지 않으며, 일관된 게임 값이 보장된다.
• 외부 corkscrew 조건을 만족하는 도메인에 대해서는 $\{u_\epsilon\}_{\epsilon \to 0}$의 집합이 $\Delta_p u = 0$의 디리클레 문제의 유일한 점성 해로 균일 수렴한다.
• 수렴은 균일하며 극한은 점성 해로 유일하게 식별된다. 이 증명은 시험 함수를 통한 점성 하부 및 상부 해 검증에 기반한다.
• 호환 조건 $\frac{N+2}{\gamma_p^2} + a_p^2 = p - 1$은 모든 $p \in (1, \infty)$에 대해 평균값 전개 (1.3)의 타당성을 보장하므로, 이 프레임워크는 $p$의 전체 범위에 적용 가능하다.