[논문 리뷰] Random Walks and Levy Processes Conditioned Not to Overshoot

Sergey Foss, Anatolii A. Puhalskii|arXiv (Cornell University)|2009. 01. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 19인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 지수 모멘트 조건이 실패하는 경우, 높은 수준을 초과하지 않도록 조건화된 랜덤 워크와 Lévy 과정의 조건부 행동을 연구한다. 정칙 양측 안정 분포의 영역에 속하는 조건 하에서, 수준 1에 도달할 때 멈추는 스케일링된 과정에 대해 약수렴 극한을 도출하며, 이는 선형 드리프트 케이스와는 다를 바 있는 비선형적이고 꼬리가 무거운 스케일링 극한을 드러낸다.

ABSTRACT

Let ξ1, ξ2, . . . be i.i.d. random variables with negative mean. Suppose that Eexp(λξ1) 0 and that there exists γ > 0 with Eexp(γξ1) = 1. It is known that if, in addition, E ξ1 exp(γξ1) < ∞, then the most likely way for the random walk Sk = Pk=1 ξi to reach a high level is to follow a straight line with a positive slope. We study the case where E ξ1 exp(γξ1) = ∞. Assuming that the distribution F(dx) = exp(γx)P(ξ1 ∈ dx) belongs to the domain of attraction of a spectrally positive stable law, we obtain a weak convergence limit theorem as r → ∞ for the conditional distribution of the process r −1 P ⌊t/F (r,∞)⌋ i=1 ξi, t ≥ 0 � stopped at the time when it reaches level 1 given that the latter event occurs. The limit is ′ ∞

연구 동기 및 목표

• 음의 기댓값을 가진 랜덤 워크의 일반적인 경로 행동을, 높은 수준을 초과하지 않도록 조건화했을 때 이해하고자 한다.
• E[ξ₁exp(γξ₁)]가 무한대가 되는 경우, 즉 고전적인 대규모 편차 근사가 무효화되는 경우를 분석하고자 한다.
• 흡수 수준 1에서 조건부 확률 하에서 스케일링된 과정에 대한 약수렴 극한을 도출하고자 한다.
• 기저 분포 F(dx) = exp(γx)P(ξ₁ ∈ dx)가 정칙 양측 안정 법칙의 영역에 속하는 경우를 특성화하고자 한다.

제안 방법

• 랜덤 워크 S_k = ∑_{i=1}^k ξ_i 가 높은 수준 r에 도달하기 전에 초과하지 않도록 사건에 조건화한다.
• 시간 척도를 정규화하기 위해 증분 분포의 꼬리 확률 F(r, ∞)로 시간을 스케일링한다.
• E[exp(γξ₁)] = 1이 되도록 γ > 0 를 사용하여 지수 기울임을 적용하고, 측도 F(dx) = exp(γx)P(ξ₁ ∈ dx) 를 정의한다.
• F 가 인덱스 α ∈ (1, 2) 인 정칙 양측 안정 법칙의 영역에 속한다고 가정하며, 이는 꼬리가 두꺼운 행동을 보장한다.
• 약수렴 기법을 사용하여 r → ∞ 일 때 r⁻¹ ∑_{i=1}^{⌊t/F(r,∞)⌋} ξ_i 의 극한을 분석한다.
• 과정을 수준 1에 도달하는 첫 번째 시간에 멈추고, 이 조건부 측도 하에서의 극한 분포를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지수 모멘트 조건이 실패하는 경우, 음의 기댓값을 가진 랜덤 워크가 높은 수준을 초과하지 않도록 조건화했을 때 일반적인 경로는 어떠한가?
• RQ2 E[ξ₁exp(γξ₁)] = ∞ 인 경우, 조건화된 과정의 스케일링 극한은 고전적인 선형 드리프트 케이스와 어떻게 다를까?
• RQ3 기울인 분포 F(dx) 가 정칙 양측 안정 법칙의 영역에 속할 경우, 스케일링된 과정의 극한 행동은 어떠한가?
• RQ4 흡수 수준 1에서 조건화했을 때, 스케일링되고 멈춘 과정에 대해 비퇴화된 약극한이 존재하는가?
• RQ5 극한 과정의 성격은 무엇이며, 증분의 꼬리가 두꺼운 구조는 어떻게 반영되는가?

주요 결과

• 지수 모멘트 조건이 실패함에도 불구하고, 조건부 측도 하에서 스케일링된 과정이 r → ∞ 일 때 비퇴화된 극한으로 약수렴함을 보였다.
• 유한한 지수 모멘트 조건이 성립하는 경우와 달리, 극한 과정은 양의 기울기를 가진 직선이 아니며, 꼬리가 두꺼운 증분으로 인해 다른 비선형 스케일링을 보인다.
• 극한 과정은 인덱스 α ∈ (1, 2) 인 정칙 양측 안정 법칙의 영역에 속함을 통해 자기유사적이고 꼬리가 두꺼운 구조를 지닌다.
• 시간 스케일링은 F(r, ∞) 즉, 꼬리 확률에 의해 결정되며, 수준 1에 도달하는 데 필요한 효과적인 시간 범위를 결정한다.
• 조건부 분포는 초과를 피하는 경로에 집중되어 있어, 무조건적 또는 대규모 편차 영역과는 다를 바 있는 특별한 극한 행동을 보인다.
• 극한 과정은 비마코프성이고 경로에 의존하는 구조를 지니며, 초과하지 않도록 조건화된 조건을 반영한다.