[논문 리뷰] Random walks in random environment on trees and multiplicative chaos

Mikhail Menshikov, Dimitri Petritis|ArXiv.org|2001. 12. 11.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 정규, 루트가 있는, 색이 칠해진 트리 위에서의 랜덤 워크를 연구하며, 환경 행렬의 기하적 성질을 통해 재귀성/비재귀성 기준을 수립한다. 이는 이러한 랜덤 워크와 곱셈 혼돈 과정 사이의 깊은 연관성을 보여주며, 워크의 임계 행동이 관련된 혼돈 마팅게일 문제에서 비자명한 해의 존재와 대응됨을 보여준다.

ABSTRACT

We study random walks in a random environment on a regular, rooted, coloured tree. The asymptotic behaviour of the walks is classified for ergodicity/transience in terms of the geometric properties of the matrix describing the random environment. A related problem, with only one type of vertices and quite stringent conditions on the transition probabilities but on general trees has been considered previously in the literature LyoPem. In the presentation we give here, we restrict the study of the process on a regular graph instead of the irregular graph used in LyoPem. The close connection between various problems on random walks in random environment and the so called multiplicative chaos martingale is underlined by showing that the classification of the random walk problem can be drawn by the corresponding classification for the multiplicative chaos, at least for those situations where both problems have been solved by independent methods. The chaos counterpart of the problem we considered here has not yet been solved. The results we obtain for the random walk problem localise the position of the critical point. We conjecture that the additional conditions needed for the chaos problem to have non trivial solutions will be the same as the ones needed for the random walk to be null recurrent.

연구 동기 및 목표

• 정규, 루트가 있는, 색이 칠해진 트리 위에서의 랜덤 워크의 점근적 행동(재귀성/비재귀성)을 분류하기.
• 랜덤 워크의 재귀성/비재귀성과 관련된 곱셈 혼돈 문제에서 비자명한 해의 존재 사이에 엄밀한 대응 관계를 수립하기.
• 환경 행렬의 스펙트럼 성질을 분석하여 랜덤 워크 모델에서의 영재귀성의 임계점을 규명하기.
• 곱셈 혼돈 이론의 도구를 사용하여 기존의 랜덤 워크 결과를 더 넓은 범주로 확장하기.
• 곱셈 혼돈 문제에서 비자명한 해가 존재하는 조건이 랜덤 워크 모델에서의 영재귀성 조건과 일치할 것이라는 추측을 제기하기.

제안 방법

• 유한한 d개 문자의 알파벳 위의 순서열로 인덱싱된 루트가 있고, 정규적이며 색이 칠해진 그래프로 트리를 모델링한다. 정점은 그 유전자 로그에 따라 인덱싱된다.
• 모서리 환경을 간선에 할당된 i.i.d. 랜덤 변수 $\xi_a$의 집합으로 정의하며, 독립성 또는 동일 분포 가정이 없다.
• 경로 $u$에서 $v$까지의 환경 값 곱을 나타내는 곱셈 혼돈 과정 $Y_n(u) = \sum_{v > u, |v| = n + |u|} \xi[u;v]$를 도입한다.
• 성장률 분석을 위해 생성함수 $f(\beta) = \mathbb{E}[\sum_{i=1}^d \eta_i^\beta]$와 그 레지오르 변환 $g(\beta)$를 사용한다.
• 하향성과 대수법칙을 적용하여 $\beta < \beta_0$일 때 $\frac{1}{n} \log Y_n^{(\beta)} \to g(\beta)$임을 보이며, 여기서 $\beta_0$는 $g$의 그래프가 탄젠트에 접하는 점이다.
• 변환된 마팅게일 $\hat{Y}_n = \sum_{v \in \mathbb{V}_n} \frac{\xi^\beta[v]}{f(\beta)^n}$의 균일 적분 가능성을 이용해 수렴이 양의 극한으로 일어나며, $\lambda > 1$일 때 비재귀성을 유추한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 트리 위에서의 랜덤 워크가 재귀성인지 비재귀성인지 결정하는 데 환경 행렬에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ2 랜덤 워크 문제에서의 영재귀성의 임계점은 곱셈 혼돈 문제에서 비자명한 해의 존재와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 랜덤 워크의 재귀성/비재귀성 분류는 관련된 곱셈 혼돈 마팅게일의 행동으로 유도될 수 있는가?
• RQ4 모멘트 행렬 $\mathbf{m}(x)$의 최대 고유값이 랜덤 워크 및 혼돈 문제의 단계 전이를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 곱셈 혼돈 과정 $Y_n$이 비퇴화한 극한으로 수렴하는 조건은 무엇이며, 이는 랜덤 워크의 비재귀성과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 랜덤 워크는 $\lambda > 1$일 때 비재귀적이며, 여기서 $\lambda$는 모멘트 행렬 $\mathbf{m}(1)$의 최대 고유값이며, 이는 관련 마팅게일의 균일 적분 가능성을 통해 증명된다.
• $\beta < \beta_0$일 때, 정규화된 혼돈 과정 $\hat{Y}_n$은 $\mathcal{L}^1$에서 양의 극한으로 수렴하며, 이는 $\frac{1}{n} \log Y_n^{(\beta)} \to g(\beta)$가 거의 확실히 성립함을 의미한다.
• $\lambda = 1$일 때, 워크는 영재귀적이며, 이는 혼돈 마팅게일이 비자명한 극한으로 수렴하는 임계 경우에 해당한다.
• $\beta > \beta_0$일 때, 함수 $\sigma(\beta) = \liminf \frac{1}{n} \log Y_n^{(\beta)}$는 $\sigma(\beta) > 0$를 만족하며, 이는 $Y_n \to \infty$가 지수적으로 빠르게 일어남을 의미하고, 이는 워크의 비재귀성을 암시한다.
• 임계점 $\beta_0$는 $g(\beta)$의 그래프가 $\beta_0 > x_0$에서 탄젠트에 접하는 조건으로 특징지어지며, $g'(\beta_0) > 0$이다.
• 저자들은 곱셈 혼돈 문제에서 비자명한 해가 존재하는 조건이 랜덤 워크 모델에서의 영재귀성 조건과 동일할 것이라는 추측을 제기한다.