[논문 리뷰] Random weighted averages, partition structures and generalized arcsine laws

Jim Pitman|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 21.

Bayesian Methods and Mixture Models참고 문헌 68인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 무작위 가중 평균(P-평균)의 분포 이론을 분할 구조와 일반화된 아크사인 법칙을 사용하여 통합된 프레임워크로 제시한다. P-평균과 P에서의 표본에서의 서로 다른 값의 수의 확률 생성 함수를 연결하는 모멘트 공식을 수립하고, (α,θ)-평균의 명시적 카우치-스타일티지 변환을 유도하며, 일반화된 아크사인 법칙과 딜리클레 평균을 특수 케이스로 포함한다.

ABSTRACT

This article offers a simplified approach to the distribution theory of randomly weighted averages or $P$-means $M_P(X):= \sum_{j} X_j P_j$, for a sequence of i.i.d.random variables $X, X_1, X_2, \ldots$, and independent random weights $P:= (P_j)$ with $P_j \ge 0$ and $\sum_{j} P_j = 1$. The collection of distributions of $M_P(X)$, indexed by distributions of $X$, is shown to encode Kingman's partition structure derived from $P$. For instance, if $X_p$ has Bernoulli$(p)$ distribution on $\{0,1\}$, the $n$th moment of $M_P(X_p)$ is a polynomial function of $p$ which equals the probability generating function of the number $K_n$ of distinct values in a sample of size $n$ from $P$: $E (M_P(X_p))^n = E p^{K_n}$. This elementary identity illustrates a general moment formula for $P$-means in terms of the partition structure associated with random samples from $P$, first developed by Diaconis and Kemperman (1996) and Kerov (1998) in terms of random permutations. As shown by Tsilevich (1997) if the partition probabilities factorize in a way characteristic of the generalized Ewens sampling formula with two parameters $(α,θ)$, found by Pitman (1992), then the moment formula yields the Cauchy-Stieltjes transform of an $(α,θ)$ mean. The analysis of these random means includes the characterization of $(0,θ)$-means, known as Dirichlet means, due to Von Neumann (1941), Watson (1956) and Cifarelli and Regazzini (1990) and generalizations of Lévy's arcsine law for the time spent positive by a Brownian motion, due to Darling (1949) Lamperti (1958) and Barlow, Pitman and Yor (1989).

연구 동기 및 목표

• 무작위 가중치 Pj ≥ 0 이며 합이 1이 되는 조건에서 정의된 가중 평균 ∑XjPj의 분포에 대한 단순화되고 기초적인 이론을 개발한다.
• P-평균과 킹먼의 분할 구조 간의 관계를 명확히 하여, P에서의 랜덤 샘플에서 서로 다른 값의 수의 분포를 P-평균의 모멘트가 어떻게 캡처하는지 보여준다.
• 카우치-스타일티지 변환을 사용하여 (α,θ)-평균의 분포를 특성화하고, 고전적인 아크사인 법칙과 딜리클레 평균에 대한 결과를 확장한다.
• 레비의 아크사인 법칙과 폰 뉴만의 딜리클레 평균과 같은 산발적인 결과들을 단일한 모멘트 기반 프레임워크로 통합한다.
• 특히 분할 구조와 P-평균 이론에서의 그 역할에 익숙하지 않은 독자들을 위해 접근 가능한 유도 과정과 문헌과의 연결 고리를 제공한다.

제안 방법

• 베르누이(p) 분포에서의 변수에 대해 E[M_P(X)]^n = E[p^{K_n}] 라는 모멘트 공식을 사용하여, P-평균의 모멘트와 P에서 크기가 n인 표본에서의 서로 다른 값의 수 K_n의 확률 생성 함수를 연결한다.
• 카우치-스타일티지 변환을 적용하여 (α,θ)-평균의 분포를 특성화하고, α≠0, θ≠0 인 경우에 대해 핵심 항등식 E[(1+λX̃)^{-θ}] = (E[(1+λX)^α])^{-θ/α} 를 도출한다.
• 단조 수렴 정리와 간단한 랜덤 변수로의 근사화를 사용하여 유계가 아닌 X≥0 인 경우로 결과를 확장한다.
• P의 GEM(α,θ) 표현과 이중 매개변수 포아송-디리클레 과정을 사용하여 일반화된 아크사인 법칙을 극한 케이스로 도출한다.
• 중국 식당 과정에서의 분할 연산자 이론과 역행 마틴갈을 활용하여 P-평균의 구조를 분석한다.
• 형식적 멱급수 전개를 통해 명시적 모멘트 공식을 도출하고, 생성함수에서 λ^n 계수를 일치시켜 E[X̃_α,θ^n] 을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무작위 가중치 P에서의 표본을 취할 때 유도되는 분할 구조를 사용하여 P-평균의 분포를 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ2 P-평균의 모멘트와 P에서의 표본에서의 서로 다른 값의 수의 확률 생성 함수 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 (α,θ)-평균 분포의 카우치-스타일티지 변환은 무엇이며, 딜리클레 평균과 일반화된 아크사인 법칙과 같은 알려진 결과들을 어떻게 통합하는가?
• RQ4 X와 (α,θ)에 대해 (α,θ)-평균이 거의 확실히 유한하거나 무한한 조건은 무엇인가?
• RQ5 결과들이 유계가 아닌 음이 아닌 랜덤 변수 X로 어떻게 일반화되는가?

주요 결과

• 베르누이(p) 분포에서의 X에 대해 M_P(X_p)의 n번째 모멘트는 E[p^{K_n}] 이며, 여기서 K_n은 P에서 크기가 n인 표본에서의 서로 다른 값의 수이다. 이는 P-평균 모멘트와 분할 구조 사이의 직접적인 연결 고리를 확립한다.
• 0<α<1 이고 θ>−α 인 (α,θ)-평균에 대해, X̃_α,θ 는 E[X^α]<∞ 이면 거의 확실히 유한하고, E[X^α]=∞ 이면 무한하다. 이는 날카운 적합성 조건을 제공한다.
• α≠0, θ≠0 인 (α,θ)-평균의 카우치-스타일티지 변환은 E[(1+λX̃_α,θ)^{-θ}] = (E[(1+λX)^α])^{-θ/α} 로 주어지며, 이는 딜리클레 법칙과 아크사인 법칙에 대한 기존 변환을 일반화한다.
• θ=0 인 극한 케이스에서는 E[log(1+λX̃_α,0)] = (1/α)log(E[(1+λX)^α]) 가 되며, 이는 X가 지표 변수일 경우 라멘티의 변환으로 줄어든다.
• 공식 E[(1+λX̃_α,0)^{-1}] = E[(1+λX)^{α-1}]/E[(1+λX)^α] 는 0<α<1 인 경우에 유효한 변환의 다른 형태를 제공하며, 단순한 X에 대해 바로울 등의 결과를 복원한다.
• 이론은 일반적인 (α,θ)-평균 공식의 특수 케이스로 대칭 딜리클레 평균 변환(식 141)과 무한 딜리클레 평균 변환(식 144)을 통합하며, 후자는 α→0+ 일 때 유도된다.