[논문 리뷰] Randomized Benchmarking as Convolution: Fourier Analysis of Gate Dependent Errors

Seth Merkel, Emily Pritchett외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 16.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 36인용 수 29

한 줄 요약

이 논문은 유한군 위의 행렬값 함수에 대한 푸리에 분석을 사용하여 랜덤라이즈드 랜드마킹(RB)을 컨볼루션 연산으로 재구성함으로써 게이트 의존 오차에 대한 엄밀하고 직관적인 이해를 가능하게 한다. Gowers와 Hatami의 푸리에 변환 프레임워크를 적용하여 저자들은 게이트 의존 노이즈 하에서 RB 시퀀스가 작은 수정을 동반한 두 지수함수의 합으로 감쇠함을 증명하고, 평균 오차가 비파괴 채널이거나 이상적인 게이트 세트와의 허상도를 최대화하는 최적의 게이지로 변환 가능함을 제안한다.

ABSTRACT

We show that the Randomized Benchmarking (RB) protocol is a convolution amenable to Fourier space analysis. By adopting the mathematical framework of Fourier transforms of matrix-valued functions on groups established in recent work from Gowers and Hatami [Sbornik: Mathematics 208, 1784 (2017)], we provide an alternative proof of Wallman's [Quantum 2, 47 (2018)] and Proctor's [Phys. Rev. Lett. 119, 130502 (2017)] bounds on the effect of gate-dependent noise on randomized benchmarking. We show explicitly that as long as our faulty gate-set is close to the targeted representation of the Clifford group, an RB sequence is described by the exponential decay of a process that has exactly two eigenvalues close to one and the rest close to zero. This framework also allows us to construct a gauge in which the average gate-set error is a depolarizing channel parameterized by the RB decay rates, as well as a gauge which maximizes the fidelity with respect to the ideal gate-set.

연구 동기 및 목표

• 게이트 의존 오차를 분석하기 위한 수학적으로 엄밀하고 직관적인 프레임워크를 제시하기 위해 군 푸리에 분석을 활용한다.
• 기존의 펌프팅 접근법이 표현에 의존하여 느슨한 경계를 제공하는 데서 비롯되는 한계를 극복한다.
• 게이트 의존 노이즈 하에서 RB 시퀀스가 표현의 고정에 관계없이 두 지수함수 감쇠 구조를 보임을 보여준다.
• 평균 오차 채널을 일반화된 비파괴 채널 형태로 단순화하거나 이상적인 게이트 세트와의 허상도를 최대화하는 게이지 변환을 구성한다.
• 구체적인 예시를 통해 이 프레임워크의 유용성을 입증한다. 예를 들어, 유실 특성 분석과 클리포드 군 내 전역 위상의 역할을 포함한다.

제안 방법

• Gowers와 Hatami의 푸리에 변환 프레임워크를 사용하여 클리포드 군 위의 행렬값 함수의 컨볼루션으로 RB를 공식화한다.
• 클리포드 군의 초연산자 표현에 푸리에 변환을 적용하여 군 원소를 기저 표현으로 매핑한다.
• 컨볼루션 항등식과 파르세발 정리를 사용하여 푸리에 공간에서 RB 시퀀스의 감쇠를 분석한다.
• 변환된 오차 과정의 고유값을 분석하여 두 지수함수 감쇠 행동을 유도하며, 두 개의 고유값이 1에 가까운 반면 나머지는 0에 가까운 것으로 나타낸다.
• 푸리에 변환된 오차 연산자의 고유벡터를 이용해 게이지 변환을 구성함으로써 비파괴 오차 채널 또는 최대 허상도를 달성한다.
• Wallman과 Proctor의 예시를 재현하고 확장함으로써 프레임워크를 검증한다. 예를 들어, 유실 및 위상 민감 오차 모델을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 게이트 의존 오차를 갖는 랜덤라이즈드 랜드마킹은 펌프팅 근사 이외의 엄밀한 분석이 가능할 수 있는가?
• RQ2 게이트 의존 노이즈 하에서 RB 감쇠의 기능적 형태는 무엇이며, 왜 표현 선택에 대해 강건한가?
• RQ3 게이지 자유도를 활용하여 RB의 평균 오차 채널을 일반화된 비파괴 채널 형태로 변환할 수 있는가?
• RQ4 이상적인 게이트 세트와의 평균 게이트 허상도를 최대화하는 게이지를 구성하는 것이 가능한가?
• RQ5 전역 위상이나 유실을 포함할 경우 RB 감쇠 및 두 지수함수 모델의 타당성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• RB 프로토콜은 군 대수에서 컨볼루션으로 엄밀히 기술될 수 있으며, 이는 행렬값 함수에 대한 푸리에 변환을 통한 분석을 가능하게 한다.
• 게이트 의존 노이즈 하에서 RB 감쇠는 어떤 고정된 표현에서의 게이트 허상도와는 무관하게 작은 수정을 동반한 두 지수함수의 합으로 나타난다.
• 최적의 게이지에서 평균 오차 채널은 RB 감쇠율로 완전히 기술되는 일반화된 비파괴 채널이다.
• 이전 문헌에서 처음으로 제안된, 이상적인 게이트 세트와의 평균 게이트 허상도를 최대화하는 새로운 게이지를 구성하였다.
• 이 프레임워크는 Wallman과 Proctor의 예시를 재현하고 확장하며, 단일 큐비트 클리포드 군 내 전역 위상의 역할과 유실 특성 분석을 포함한다.
• 기존의 펌프팅 접근법보다 더 날카럽고 강건한 RB 감쇠율 경계를 제공하며, 이는 이전 경계에 대한 명시적 반례를 통해 입증되었다.