[논문 리뷰] Randomized query complexity of sabotaged and composed functions

Shalev Ben-David, Robin Kothari|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 29.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 22인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 랜덤화된 손상 복잡도(randomized sabotage complexity)를 도입하여, 랜덤화된 질의 복잡도에 대한 새로운 하한 기법을 제안한다. 이 기법은 완벽한 복합 정리(composition theorem)를 가능하게 한다. 이는 함수 f와 g 사이에 소규모 색인 게이트(색인 게이트의 질의 복잡도가 Θ(log R(g)))를 삽입함으로써 R(f∘Ind∘g) = Ω(R(f)R(Ind)R(g))임을 증명하며, 랜덤화된 질의 복잡도에 대한 복합 정리에 거의 도달한다.

ABSTRACT

We study the composition question for bounded-error randomized query complexity: Is R(f o g) = Omega(R(f) R(g)) for all Boolean functions f and g? We show that inserting a simple Boolean function h, whose query complexity is only Theta(log R(g)), in between f and g allows us to prove R(f o h o g) = Omega(R(f) R(h) R(g)). We prove this using a new lower bound measure for randomized query complexity we call randomized sabotage complexity, RS(f). Randomized sabotage complexity has several desirable properties, such as a perfect composition theorem, RS(f o g) >= RS(f) RS(g), and a composition theorem with randomized query complexity, R(f o g) = Omega(R(f) RS(g)). It is also a quadratically tight lower bound for total functions and can be quadratically superior to the partition bound, the best known general lower bound for randomized query complexity. Using this technique we also show implications for lifting theorems in communication complexity. We show that a general lifting theorem for zero-error randomized protocols implies a general lifting theorem for bounded-error protocols.

연구 동기 및 목표

• 모든 부울 함수 f와 g에 대해 R(f∘g) = Ω(R(f)R(g))가 성립하는지 여부라는 열린 문제를 다루는 것.
• 양자 및 결정론적 모델에서 실패함이 알려진 바 있음에도 불구하고, 랜덤화된 질의 복잡도에서 일반적인 복합 정리가 부족한 문제를 해결하는 것.
• 엄밀한 복합 정리를 가능하게 하고 기존 방법(예: 분할 하한 기법)을 초월하는 새로운 하한 기법을 개발하는 것.
• 통신 복잡도에서 러핑 정리(lifting theorems)에 대한 영향을 제시하며, 영점 오차 러핑 정리가 유계 오차 러핑 정리로 이어진다는 것을 보여주는 것.
• 전체 함수에 대해 제곱적으로 날카운 하한을 제공하고, 특정 경우에서 기존의 분할 하한 기법보다 뛰어난 성능을 보여주는 것.

제안 방법

• 랜덤화된 손상 복잡도(RS(f))를 랜덤화된 질의 복잡도에 대한 새로운 하한 측정 기준으로 도입한다.
• RS(f∘g) ≥ RS(f)RS(g)임을 증명함으로써 RS에 대한 완벽한 복합 정리를 확립한다.
• R(f∘g) = Ω(R(f)RS(g))임을 보여주며, RS가 랜덤화된 질의 복잡도와 연결됨을 밝힌다.
• f와 g를 복합하기 위해 R(Ind) = Θ(log R(g))를 만족하는 색인 함수 Ind를 손상 게이트로 사용한다.
• 유계 오차 알고리즘에 대한 미니맥스 정리를 적용하여 기대 질의 복잡도에 하한을 도출한다.
• 손상 전략의 구조와 확률적 추론을 활용하여 오차와 질의 횟수를 제한한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤화된 질의 복잡도에 대해 복합 정리가 조건부로라도 성립할 수 있는가?
• RQ2 완벽한 복합 정리를 가능하게 하고 전체 함수에 대해 제곱적으로 날카운 하한을 제공하는 하한 기법이 존재하는가?
• RQ3 랜덤화된 손상 복잡도를 활용하여 영점 오차 및 유계 오차 통신 프로토콜의 러핑 정리 간의 관계를 규명할 수 있는가?
• RQ4 랜덤화된 손상 복잡도는 분할 하한 기법 및 기타 알려진 하한 기법과 비교해 어떻게 다른가?
• RQ5 랜덤화된 질의 복잡도에서 복합 정리가 성립하도록 보장하기 위해 필요한 최소한의 게이트 크기는 얼마인가?

주요 결과

• 랜덤화된 손상 복잡도(RS(f))는 전체 부울 함수에 대해 제곱적으로 날카운 하한이다.
• RS(f)는 분할 하한보다 크거나 같으며, 일부 경우에서 제곱적으로 더 우수할 수 있다.
• 복합 정리 RS(f∘g) ≥ RS(f)RS(g)는 최악의 경우에 등호가 성립하여 완벽한 복합 정리를 가능하게 한다.
• 임의의 f와 g에 대해 R(Ind) = Θ(log R(g))를 만족하는 색인 게이트를 삽입하면 R(f∘Ind∘g) = Ω(R(f)R(Ind)R(g)) = Ω(R(f)R(g)log R(g))임을 도출할 수 있다.
• 영점 오차 랜덤화 프로토콜에 대한 일반적인 러핑 정리는 유계 오차 프로토콜에 대한 일반적인 러핑 정리로 이어진다.
• 유계 오차 알고리즘에 대한 미니맥스 정리를 적용하여, 임의의 알고리즘이 오차 ≤ ε을 유지하려면 분포 μ에서 기대적으로 적어도 R_ε(f)번의 질의를 수행해야 한다는 분포 μ를 도출할 수 있다.