[논문 리뷰] Randomized Strategies for Robust Combinatorial Optimization

Yasushi Kawase, Hanna Sumita|ArXiv.org|2018. 05. 20.

Optimization and Search Problems참고 문헌 34인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 불확실성 하에서 강건한 조합 최적화를 위한 두 가지 새로운 근사 알고리즘을 제안한다. 여기서 독립 집합 위의 랜덤 전략이 여러 시나리오에 걸쳐 최악의 경우 기대 목표 함수를 최대화한다. 선형 목표 함수에 대해 다각체 이완 기법을 도입하고, $(\eta,\gamma)$-감소 기반의 승수 가중치 방법을 사용하여 선형 및 상위모듈라 목표 함수 모두에 대해 개선된 근사 비율을 달성한다. 이는 캐디널리티 강건성까지 포함한 배낭 및 매트로이드 설정에서 성립한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the following robust optimization problem. Given an independence system and candidate objective functions, we choose an independent set, and then an adversary chooses one objective function, knowing our choice. Our goal is to find a randomized strategy (i.e., a probability distribution over the independent sets) that maximizes the expected objective value. To solve the problem, we propose two types of schemes for designing approximation algorithms. One scheme is for the case when objective functions are linear. It first finds an approximately optimal aggregated strategy and then retrieves a desired solution with little loss of the objective value. The approximation ratio depends on a relaxation of an independence system polytope. As applications, we provide approximation algorithms for a knapsack constraint or a matroid intersection by developing appropriate relaxations and retrievals. The other scheme is based on the multiplicative weights update method. A key technique is to introduce a new concept called $(η,γ)$-reductions for objective functions with parameters $η, γ$. We show that our scheme outputs a nearly $α$-approximate solution if there exists an $α$-approximation algorithm for a subproblem defined by $(η,γ)$-reductions. This improves approximation ratio in previous results. Using our result, we provide approximation algorithms when the objective functions are submodular or correspond to the cardinality robustness for the knapsack problem.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 전략을 관찰한 후에 적대자가 목표 함수를 선택하는 악성 시나리오 하에서 강건한 조합 최적화를 위한 효율적인 근사 알고리즘을 설계하는 것.
• 결정론적 강건 최적화의 NP-난해성 문제를 랜덤화를 통해 극복하여 최악의 경우 성능을 크게 향상시키고 다항식 시간 내에 해를 구할 수 있도록 하는 것.
• 배낭 및 매트로이드 제약 조건을 포함한 독립 시스템에 적용 가능한 일반적인 알고리즘 프레임워크를 개발하여 증명 가능한 근사 보장을 제공하는 것.
• $(\eta,\gamma)$-감소 및 이완 기반 검색 기법과 같은 새로운 기법들을 도입하여 이전의 근사 비율을 초월하는 것.

제안 방법

• 선형 목표 함수의 경우, 먼저 독립 시스템 다각체 위에서 근사적으로 최적의 통합 전략을 계산한 후, 이완 기반 접근을 통해 손실이 제한된 타당한 해를 복원한다.
• 독립 시스템 다각체의 새로운 이완을 도입하여 근사 비율을 제한하고, 이는 배낭 및 매트로이드 교차 제약 조건에 적용 가능하게 한다.
• 상위모듈라 및 카디널리티 강건 목표 함수의 경우, 새로운 $(\eta,\gamma)$-감소 프레임워크를 활용한 승수 가중치 업데이트 방법을 사용하여 하위문제 근사치를 모델링한다.
• $(\eta,\gamma)$-감소 개념은 하위문제에 $\alpha$-근사치가 존재할 경우 알고리즘이 거의 $\alpha$-근사해를 유지할 수 있도록 한다.
• 강건 최적화 문제를 두 명의 플레이어가 참여하는 제로섬 게임으로 간주하여, 알고리즘이 혼합 전략을 선택하고 적대자가 최악의 시나리오를 선택하도록 하여 게임 이론 기반의 해법 기법을 적용한다.
• 카디널리티 강건성 문제에 프레임워크를 적용하기 위해 목표 함수를 정규화하고, 랜덤 전략이 모든 가능한 카디널리티 제약 조건에 대해 보장된 근사 비율을 확보하도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤화는 결정론적 전략에 비해 불확실성 하에서 조합 최적화의 최악의 경우 성능을 크게 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 목표 함수가 선형, 상위모듈라 또는 카디널리티 강건성에 해당할 경우, 강건한 조합 최적화에 대해 어떤 근사 보장을 달성할 수 있는가?
• RQ3 승수 가중치 업데이트 방법은 $(\eta,\gamma)$-감소와 같은 새로운 구조적 개념을 어떻게 통합하여 근사 비율을 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 독립 시스템 위에서 강건 최적화에 대해 이전 방법보다 더 좋은 근사 비율을 달성하는 일반적인 알고리즘 프레임워크를 설계할 수 있는가?
• RQ5 결정론적 경우가 NP-난해하더라도 랜덤화된 강건 최적화 문제는 다항식 시간 내에 해결 가능한가?

주요 결과

• 논문은 결정론적 경우가 비록 선형 목표 함수와 카디널리티 제약 조건 하에서도 NP-난해하나, 랜덤화된 강건 최적화 문제의 경우 다항식 시간 내에 해를 구할 수 있음을 입증한다.
• 선형 목표 함수의 경우, 제안된 이완 기반 기법은 독립 시스템의 다각체 이완에 따라 근사 비율이 결정되며, 특히 배낭 및 매트로이드 교차 제약 조건에 대해 구체적인 보장을 제공한다.
• $(\eta,\gamma)$-감소 기반의 승수 가중치 기법은 이전의 근사 비율을 초월하여, 하위문제에 $\alpha$-근사치가 존재할 경우 거의 $\alpha$-근사해를 달성한다.
• 배낭 설정에서 카디널리티 강건성 문제에 대해 $\frac{2n}{2n+1}$-근사 비율을 제공하며, 이는 $n$이 증가함에 따라 1에 수렴한다.
• 논문은 랜덤화된 $\alpha$-강건 해가 존재하는 것과 분할 문제 인스턴스에 해가 존재하는 것이 정확히 동치임을 증명하여 강건 최적화와 NP-완전성 간의 엄밀한 연결 고리를 확립한다.
• 카디널리티 강건성 문제에서 알고리즘은 $\alpha = \frac{1}{4} \cdot \frac{3C - 2v(0)}{C - v(0)}$ 근사 비율을 달성하며, 이는 $1 - \frac{r}{2}$ 와 동일하며 주어진 구성 하에서 최적임을 입증한다.