[논문 리뷰] Randomly switched vector fields sharing a zero on a common invariant face

Édouard Strickler|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 15.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 원점에서 공통의 영을 가지며 한 면을 불변으로 유지하는 무작위로 전환되는 벡터장이 있는 조각적 결정적 마르코프 과정(PDMPs)을 연구한다. 제약 조건에 따라 과정이 원점으로 거의 확실히 수렴하거나 원점 외부에 불변 측도를 가지게 되는 조건을 도출하며, 자코비안 행렬의 블록 구조와 관련된 리아푸노프 지수의 부호에 따라 결정된다. 이는 이전 연구에서 모든 지수의 부호가 동일해야 한다는 조건을 요구했던 것을 확장한다.

ABSTRACT

We consider a Piecewise Deterministic Markov Process given by random switching between finitely many vector fields vanishing at $0$. It has been shown recently that the behaviour of this process is mainly determined by the signs of Lyapunov exponents. However, results have only been given when all these exponents have the same sign. In this note, we consider the degenerate case where the process leaves invariant some face and results are stated when the Lyapunov exponents are of opposite signs. Applications are given to Lorenz vector fields with switching, and to SIRS model in random environment.

연구 동기 및 목표

• 기존의 무작위 전환 벡터장이 있는 PDMP에 대한 결과를 확장하여, 이전에는 모든 리아푸노프 지수의 부호가 동일해야 한다는 조건을 요구했다.
• 원점이 포함된 면을 불변으로 유지하는 특수한 경우를 분석하여, 자코비안 행렬이 블록 하삼각형 형태가 되는 상황을 다룬다.
• 블록 성분의 최대 리아푸노프 지수의 부호에 기반하여, 원점으로의 거의 확실한 수렴성 또는 원점 외부에 있는 불변 확률 측도 존재성을 위한 충분조건을 수립한다.
• 로렌츠 벡터장 간의 무작위 전환 분석에서 발생한 격차를 해결하고, 마코프 전환 하에 적용되는 SIRS 모델에 대한 결과를 일반화한다.

제안 방법

• 과정을 상태 공간 $M \times E$ 를 갖는 PDMP로 모델링하며, 여기서 $M$ 은 원점을 포함하는 컴팩트하고 국소적으로 별 모양인 집합이며, $E$ 는 전환 모드의 유한 집합이다.
• 벡터장이 원점에서 영이 되며 면 $\{0_n\} \times \mathbb{R}^m$ 을 불변으로 유지한다고 가정하여, 자코비안 행렬이 블록 하삼각형 형태 $A^i = \begin{pmatrix} B^i & 0 \\ C^i & D^i \end{pmatrix}$ 를 갖는다.
• 선형화된 시스템의 궤적을 따라 다중적 에르고딕 정리(Multiplicative Ergodic Theorem)를 적용하여 리아푸노프 지수를 분석하며, 최대 지수 $\lambda_1(B)$ 와 $\lambda_1(D)$ 가 장기적 행동을 결정한다.
• 과정의 생성자를 사용하여 반경 성분 $\rho$ 와 각 성분 $\hat{\Theta}$, $\Theta^m$ 의 진화를 분석하고, 리아푸노프 지수 기여도를 분해한다.
• 불변 측도는 생성자 하에서 $\hat{V}(\rho, \hat{\theta}, \theta^m, i) = -\log \rho$ 의 이동을 분석함으로써 연구되며, $\mu \hat{H} > 0$ 일 때 $\Lambda_B^+ < \Lambda_D^-$ 를 만족함을 보인다.
• 증명은 전환 과정의 에르고딕성에 기반하며, 헨니온(Hennion, 1984)의 결과와 연속시간 다중적 에르고딕 정리를 적응하여 전체 시스템의 리아푸노프 스펙트럼이 블록 $B^i$ 와 $D^i$ 의 스펙트럼과 어떻게 관련되는지를 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무작위로 전환되는 벡터장이 불변 면 위에서 공통의 영을 가지며 원점으로 수렴하는 PDMP가 거의 확실히 원점으로 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 리아푸노프 지수가 혼합 부호를 가질 경우, 이러한 시스템이 원점에 질량을 부여하지 않는 불변 확률 측도를 가지는 데 어떤 요소가 영향을 미치는가?
• RQ3 자코비안 행렬의 블록 성분 $B^i$ 와 $D^i$ 의 리아푸노프 지수가 전환된 시스템의 장기적 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 혼합 리아푸노프 지수를 고려하지 못했던 로렌츠 벡터장 간의 무작위 전환 분석에서 발생한 격차를 이 결과들이 해결할 수 있는가?
• RQ5 마코프 전환을 갖는 SIRS 모델을 이 프레임워크를 통해 얼마나 일반화하고 복원할 수 있는가?

주요 결과

• 블록 $B^i$ 와 $D^i$ 에 관련된 최대 리아푸노프 지수가 모두 음수일 경우, 과정은 거의 확실히 원점으로 수렴한다.
• 블록 $B^i$ 의 최대 리아푸노프 지수가 양수이고 $D^i$ 는 음수일 경우, 과정은 원점에 질량을 부여하지 않는 불변 확률 측도를 갖는다.
• 전체 시스템의 리아푸노프 지수가 혼합 부호를 가질 경우에도 결과가 적용되며, 이는 [BS18]의 결과가 부호가 일관되야 한다는 조건을 요구하므로 이전 결과의 적용이 불가능한 경우를 포함한다.
• 전체 시스템의 리아푸노프 스펙트럼은 $\lambda_1(A) = \max(\lambda_1(B), \lambda_1(D))$ 를 만족하며, 이는 지배적인 지수가 최대 최대 리아푸노프 지수를 갖는 블록에 의해 결정됨을 보여준다.
• 면 $\{0_n\} \times \mathbb{R}^m$ 은 과정에 대해 접근 가능하며, 반경 성분 $\rho$ 가 0에 수렴할 경우 면의 행동이 장기적 역학을 지배함을 보장한다.
• 이 프레임워크는 마코프 전환을 갖는 SIRS 모델에 대한 결과를 복원하고 약간 확장하며, 로렌츠 벡터장 간의 무작위 전환 분석에서의 열린 문제를 해결한다.