[논문 리뷰] Range-separated tensor formats for numerical modeling of many-particle interaction potentials

Peter Benner, Venera Khoromskaia외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 29.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 25인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 3차원 장거리 다체 상호작용 포텐셜(예: 생고분자 내 전기쌍극력)의 효율적인 수치 모델링을 위한 범위 분리(RS) 캐논리컬/터커 텐서 형식을 제안한다. 단일 입자 포텐셜(예: 1/‖x‖)을 국소적이고 장거리 성분으로 분리함으로써, 장거리 성분을 터커 랭크가 N과 n에 대해 로그적으로만 증가하는 저랭크 터커 텐서로 표현함으로써, 다체 포텐셜 합산의 복잡도를 O(Nn)으로 낮춘다.

ABSTRACT

We introduce and analyze the new range-separated (RS) canonical/Tucker tensor format which aims for numerical modeling of the 3D long-range interaction potentials in multi-particle systems. The main idea of the RS tensor format is the independent grid-based low-rank representation of the localized and global parts in the target tensor which allows the efficient numerical approximation of $N$-particle interaction potentials. The single-particle reference potential like $1/\|x\|$ is split into a sum of localized and long-range low-rank canonical tensors represented on a fine 3D $n imes n imes n$ Cartesian grid. The smoothed long-range contribution to the total potential sum is represented on the 3D grid in $O(n)$ storage via the low-rank canonical/Tucker tensor. We prove that the Tucker rank parameters depend only logarithmically on the number of particles $N$ and the grid-size $n$. Agglomeration of the short range part in the sum is reduced to an independent treatment of $N$ localized terms with almost disjoint effective supports, calculated in $O(N)$ operations. Thus, the cumulated sum of short range clusters is parametrized by a single low-rank canonical reference tensor with a local support, accomplished by a list of particle coordinates and their charges. The RS canonical/Tucker tensor representations reduce the cost of multi-linear algebraic operations on the 3D potential sums arising in modeling of multi-dimensional data by radial basis functions, say, in computation of the electrostatic potential of a protein, in 3D integration and convolution transforms, computation of gradients, forces and the interaction energy of a many-particle systems, and in low parametric fitting of multi-dimensional scattered data by reducing all of them to 1D calculations.

연구 동기 및 목표

• 단백질이나 주기적 쿨롱 시스템과 같은 큰 N체계에서의 장거리 상호작용 포텐셜 합산에 대한 계산적 과제를 해결한다.
• 직접 합산의 O(N²) 복잡도와 격자 기반 전기쌍극력에서의 전통적 에이벌드 또는 P3M 방법의 높은 비용을 극복한다.
• 격자 기반 표현을 사용하여 국소적 및 장거리 기여를 별도로 다루는 저랭크 텐서 형식을 개발한다.
• 텐서 압축을 통한 3차원 연산을 1차원 계산으로 줄임으로써, 전기쌍극력, 힘, 에너지를 효율적으로 계산한다.

제안 방법

• 범위 분리 기법을 사용하여 단일 입자 포텐셜(예: 1/‖x‖)을 국소적 부분과 부드럽게 처리된 장거리 부분으로 분리한다.
• 3차원 n×n×n 카르테시안 격자 상에서 장거리 성분을 저랭크 캐논리컬 텐서 형식으로 표현한다.
• 스케일링된 저장 및 계산 비용을 줄이기 위해, 다중 격자 기반 가속 캐논리컬에서 터커(C2T) 변환을 적용하여 장거리 텐서를 터커 형식으로 압축한다.
• ALS 반복과 SVD 절단을 사용하여 터커 분해를 계산하고, 적응형 랭크 제어를 위한 ε-절단 기준을 적용한다.
• 단거리 부분을 N개의 국소적, 거의 겹치지 않는 기여로 간주하고, 각각을 국소적 지원을 가진 저랭크 캐논리컬 텐서로 표현한다.
• 입자 좌표와 전하에 의해 매개변수화된 단일 저랭크 캐논리컬 텐서를 통해 단거리 기여를 집계함으로써, O(N) 연산을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 장거리 포텐셜 성분이 N과 격자 크기 n에 대해 최소한의 랭크 성장으로 저랭크 텐서 형식으로 효율적으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 범위 분리 텐서 형식이 3차원 다선형 대수 연산(예: 컬라션, 적분)을 1차원 연산으로 줄일 수 있는가?
• RQ3 장거리 포텐셜 근사에서 터커 랭크가 입자 수 N과 격자 크기 n에 따라 어떻게 의존하는가?
• RQ4 텐서 압축과 격자 기반 표현을 통해 N체 포텐셜 합산의 계산 비용을 O(Nn)으로 줄일 수 있는가?

주요 결과

• 장거리 포텐셜 성분의 터커 랭크는 입자 수 N과 격자 크기 n에 대해 로그적으로만 증가한다.
• 다중 격자 기반 가속 캐논리컬에서 터커(C2T) 변환은 텐서 압축의 비용을 O(n²R)에서 O(Rn)으로 감소시켜 확장 가능한 계산을 가능하게 한다.
• 장거리 포텐셜 합산은 O(n) 저장 용량을 가진 터커 형식으로 표현되어, 효율적인 3차원 연산을 1차원 계산으로 줄일 수 있다.
• 단거리 부분은 국소적 지원을 가진 단일 저랭크 캐논리컬 텐서로 집계되며, O(N) 연산으로 계산된다.
• 낮은 매개변수 텐서 표현을 통해 다체계에서의 기울기, 힘, 상호작용 에너지를 효율적으로 계산할 수 있다.
• 전체 포텐셜 합산의 점근적 복잡도는 O(Nn)으로 향상되어 직접 합산의 O(N²)보다 뚜렷이 향상된다.