[논문 리뷰] Range Theorems for Quantum Probability and Entanglement

Itamar Pitowsky|ArXiv.org|2001. 12. 12.

Quantum Mechanics and Applications인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 양자 얽힘이 있는 상태에서 유도된 양자 확률 분포의 범위를 사용하여 기하학적 프레임워크를 도입하여 양자 얽힘을 정량화한다. $bell(n)$은 이원계 시스템에서 양자 측정을 통해 확보할 수 있는 모든 연합 확률 행렬의 집합으로 정의되며, 이 집합이 볼록임을 증명하고 고전적 확률 범위인 $c(n)$의 초집합임을 보이며, 양자 궤적과 고전적 다면체 사이의 최대 거리를 기반으로 한 기하학적 얽힘 측정법을 제안한다. 이 측정법은 정확히 분리된(분리 가능한) 상태일 때만 0이 된다.

ABSTRACT

We consider the set of all matrices of the form $p_{ij}=tr[W(E_{i}\otimes F_{j})]$ where $E_{i}$, $F_{j}$ are projections on a Hilbert space $H$, and $W$ is some state on $H\otimes H$. We derive the basic properties of this set, compare it with the classical range of probability, and note how its properties may be related to geometric measures of entanglement.

연구 동기 및 목표

• 이원계 시스템에서 각 하위계에 대해 $n$개의 사영이 존재할 때, 이에 대응하는 양자 연합 확률의 범위를 나타내는 집합 $bell(n)$을 정의하고 특성화하는 것.
• $bell(n)$과 고전적 상관 다면체 $c(n)$을 비교하여 $bell(n) \supset c(n)$임을 증명하고, 얽힌 상태가 $c(n)$ 외부에 있는 확률 분포를 생성함을 보여주는 것.
• 고정된 순수 상태 $W = |\Psi\rangle\langle\Psi|$에 대해 변하는 사영 $E_i, F_j$에 대해 유도되는 양자 궤적 $b(W,n)$과 고전적 다면체 $c(n)$ 사이의 최대 유클리드 거리를 기반으로 한 기하학적 얽힘 측정법 $\mathcal{E}(W)$를 제안하며, 이 측정법이 정확히 분리 가능한 상태일 때만 0이 되도록 하는 것.
• 이 측정법이 슈미트 랭크 주도성에 대해 단조성임을 조사하고, 보통의 얽힘 측정법(예: 바르트만 엔트로피)과의 잠재적 연관성을 탐색하는 것.

제안 방법

• 양자 상태 $W$가 $H \otimes H$에서 정의되고, $E_i, F_j$가 유한 차원 힐베르트 공간 $H$ 위의 사영일 때, 행렬 $(p_{ij})$의 집합인 $bell(n)$을 $p_{ij} = \mathrm{tr}[W(E_i \otimes F_j)]$로 정의한다.
• $bell(n)$이 볼록임을 증명하고, $q(n) \supset bell(n) \supset c(n)$임을 보이며, 여기서 $q(n)$은 텐서곱 대신 부분공간의 교차를 사용한다.
• 고정된 순수 상태 $W = |\Psi\rangle\langle\Psi|$에 대해, 변하는 사영 $E_i, F_j$에 대해 유도되는 모든 행렬의 집합으로 궤적 $b(W,n)$을 정의한다.
• $W$가 분리 상태일 때이고 그때에만 $b(W,n) \subset c(n)$임을 보이며, 이를 위해 $[0,1]^2$ 위의 균일 측도를 이용한 고전적 확률 공간의 구성 방법을 사용한다.
• 연속된 노름을 $\Re_{n+1}$에 적용하여, $\mathcal{E}(W) = \sup_{(p_{ij}) \in b(W,n)} \min_{(q_{ij}) \in c(n)} \| (p_{ij}) - (q_{ij}) \|$로 정의된 기하학적 얽힘 측정법 $\mathcal{E}(W)$를 정의한다.
• 진스와 페르스의 결과를 이용하여 비분리 상태가 벨 부등식을 위반함을 보이고, 이는 $b(W,n) \nsubseteq c(n)$임을 의미하며, 따라서 얽힌 상태에 대해 $\mathcal{E}(W) > 0$임을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $bell(n)$의 기하학적 구조는 무엇이며, 고전적 상관 다면체 $c(n)$과의 관계는 어떠한가?
• RQ2 양자 궤적 $b(W,n)$과 고전적 다면체 $c(n)$ 사이의 최대 거리가 타당한 얽힘 측정법이 될 수 있는가?
• RQ3 이 기하학적 측정법이 슈미트 랭크 주도성 하에서 단조성이 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 이 기하학적 측정법과 기존의 얽힘 측정법(예: 바르트만 엔트로피) 사이에 연결 고리가 존재하는가?

주요 결과

• $bell(n)$은 $c(n)$을 포함하는 볼록 집합이며, $n \geq 2$일 때는 엄밀히 포함 관계 $bell(n) \supset c(n)$를 만족한다. 엄밀한 포함관계는 얽힌 상태가 고전적 범위 외부에 있는 확률 분포를 생성하기 때문이다.
• 모든 순수 상태 $W = |\Psi\rangle\langle\Psi|$에 대해, 궤적 $b(W,n)$이 $c(n)$에 완전히 포함되어 있음은 $W$가 분리 상태일 때에만 성립한다. 이 외의 경우 $b(W,n) \nsubseteq c(n)$이며, 이는 양자 비국소성이 고전적 부등식 위반을 통해 감지될 수 있음을 시사한다.
• 고전적 다면체 $c(n)$까지의 거리의 상한을 취한 기하학적 얽힘 측정법 $\mathcal{E}(W)$는 정확히 $W$가 분리 상태일 때에만 0이 되므로, 충실한 얽힘 측정법이다.
• $c(n)$의 컴acts성과 유클리드 위상에서의 노름 연속성 덕분에 측정법 $\mathcal{E}(W)$는 연속적이고 잘 정의되어 있다.
• $n=2$일 때, $c(n)$의 면을 정의하는 부등식의 수는 24개이며, 클로저-혼-부등식을 포함한다. 이는 얽힌 상태에 의해 위반되며, 따라서 얽힌 $W$에 대해 $b(W,n)$이 비고전적임을 확인한다.
• 논문은 $\mathcal{E}(W)$가 슈미트 주도성 하에서 단조성이 있는지 여부 또는 바르트만 엔트로피와 같은 기존 측정법과 동치인지 여부를 여전히 열려 있다. 다만, 뉴먼의 정리들을 통한 잠재적 연결 고리가 제시된다.