[논문 리뷰] Rank 2 integrable systems of Prym varieties

Jacques Hurtubise, Eyal Markman|ArXiv.org|1998. 04. 09.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 28인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 스펙트럴 곡선과 웨일 군 작용을 통해 비아벨 구조로 일반화된 히친 유형 시스템을 정의함으로써, 잭비안에서 일반화된 프림 다양체로 순위-2 적분 가능 시스템 프레임워크를 일반화한다. (v+1)-차원 다양체 X에 χ*-값을 갖는 2형식을 도입함으로써, 이러한 시스템과 이 구조를 지닌 심플렉틱 다양체 사이의 대응을 수립한다. 주요 기여는 프림 다양체의 순위-2 적분 가능 시스템을 내재 기하 불변량을 통해 특성화함으로써, 스펙트럴 곡선과 웨일 군 작용을 통해 비아벨적 구조로 히친 유형 시스템을 확장하는 것이다.

ABSTRACT

A correspondence between 1) rank 2 completely integrable systems of Jacobians of algebraic curves and 2) (holomorphically) symplectic surfaces was established in a previous paper by the first author. A more general abelian variety that occurs as a Liouville torus of integrable systems is a prym variety associated to a triple (S,W,V) consisting of a curve S, a finite group W of automorphisms of S and an integral representation V. Often W is a Weyl group of a reductive group and V is the root lattice. We establish an analogous correspondence between: i) Rank 2 integrable systems whose Liouville tori are generalized prym varieties Prym(S_u,W,V) of a family of curves S_u, u in U. ii) Varieties X of dimension 1+dim(V) with a W-action and an invariant V-valued 2-form. If V is one dimensional X is a symplectic surface. We obtain a rigidity result: When the dimension of V is at least 2, under mild additional assumptions, all the quotient curves $S_u/W$ are isomorphic to a fixed curve C. This rigidity result imposes considerable constraints on the variety X: X admits a W-invariant fibration to C and the generic fiber has an affine structure modeled after V. Examples discussed include: Hitchin systems, reduced finite dimensional coadjoint orbits of loop algebras, and principal bundles over elliptic K3 surfaces.

연구 동기 및 목표

• 잭비안에서 일반화된 프림 다양체로 순위-2 대수적 적분 가능 시스템의 기하적 특성화를 확장하는 것.
• 이러한 적분 가능 시스템을 분류하는 데 핵심이 되는 표준 기하 불변량—구체적으로 χ*-값을 갖는 2형식을 지닌 (v+1)-차원 다양체 X—를 규명하는 것.
• 국소적 순위-2 프림 적분 가능 시스템과 χ*-값을 갖는 2형식을 지닌 심플렉틱 다양체 X 사이의 대응을 수립하는 것.
• GL(r,C)에서 재구성된 스펙트럴 곡선 및 고유선 번들의 구성 방식을 재구성군 G로 일반화하여, 웨일 군 작용과 H-_bundle를 사용하는 것.
• 타원 표면 위의 G-_bundle의 모듈리 공간이 웨일 군-불변 스펙트럴 곡선을 매개변수화하는 기저 위에 일반화된 프림 다양체의 피복으로 재구성될 수 있는지 밝혀내는 것.

제안 방법

• 저자는 W가 리만 곡면과 격자 χ 양쪽에 작용하는 바에, 스펙트럴 곡선 S 위의 W-불변 H-_bundle의 모듈리 공간으로 일반화된 프림 다양체를 정의한다.
• 일반화된 아벨 사상에 의한 심플렉틱 형식의 역상으로서, (v+1)-차원 다양체 X 위에 χ*-값을 갖는 2형식을 도입한다.
• 이 구성은 기저 곡선 Σ 위의 분지 커버로서의 스펙트럴 곡선 S를 사용하며, 단순형의 모노드로미는 웨일 군 W에 의해 제어된다.
• 심플렉틱 잎이 일반화된 프림 다양체와 동형인 라그랑주 피브레이션을 지닌다는 것을 증명함으로써, 시스템이 대수적으로 적분 가능하다는 것을 보인다.
• 저자는 타원 피브레이션 p:Z→Σ 위의 G-_bundle의 상대 모듈리 공간을 사용하여 적분 가능 시스템을 구성하며, 기저 U를 Y→Σ의 절단들의 Hilbert 스킴의 조각적 닫힌 부분집합으로 식별한다.
• 핵심 기술 도구는 [E⊗Zχ]/W 를 E 위의 반안정 G-_bundle의 모듈리 공간과 동형으로 식별하는 것으로, 이를 Σ 위의 가속으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대수적 적분 가능 시스템에서의 순위-2 조건이 잭비안에서 프림 다양체로 기하 불변량을 통해 일반화될 수 있는가?
• RQ2 지역적 순위-2 적분 가능 시스템의 일반화된 프림 다양체를 분류하는 데 자연스러운 기하 객체 X는 무엇인가?
• RQ3 GL(r,C)-히친 시스템의 스펙트럴 곡선 구성은 재구성군 G ≠ GL(r,C)로 어떻게 일반화되는가?
• RQ4 웨일 군 작용은 일반화된 프림 다양체와 관련된 심플렉틱 형식의 구조에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 타원 표면 위의 G-_bundle의 모듈리 공간은 웨일 군-불변 스펙트럴 곡선을 매개변수화하는 기저 위에 일반화된 프림 다양체의 피복으로 재구성될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 국소적 순위-2 일반화된 프림 다양체의 적분 가능 시스템과 χ*-값을 갖는 2형식을 지닌 (v+1)-차원 심플렉틱 다양체 X 사이의 일대일 대응을 수립한다.
• 일반화된 프림 다양체는 S가 KΣ⊗h 안의 W-불변 곡선이고 H가 G의 카르탕 부분군일 때, 스펙트럴 곡선 S 위의 W-불변 H-_bundle의 모듈리 공간으로 나타난다.
• G = SLn일 경우, 타원 피브레이션 위의 G-_bundle의 상대 모듈리 공간은 Lie 대수 위의 불변 다항식의 차수에 의해 결정되는 가중치를 갖는 Σ 위의 가중치 프로젝티브 번들의 동형이다.
• 몫 [E⊗Zχ]/W 는 E 위의 반안정 G-_bundle의 모듈리 공간과 동형이며, 이 동형은 Σ 위의 가속으로 확장된다.
• 반안정 G-_bundle의 모듈리 공간 M⁰은 Y→Σ의 절단들의 Hilbert 스킴의 조각적 닫힌 부분집합 U로 사상되며, 이의 섬세한 부분은 일반화된 프림 다양체와 동형이다.
• 이 구성은 스펙트럴 곡선과 프림 다양체의 원소로부터 원래의 G-_bundle를 재구성할 수 있으며, 스펙트럴 자료를 통한 히친 시스템 재구성 방식을 일반화한다.