[논문 리뷰] Rank Conditions for Observability and Controllability for Time-varying Nonlinear Systems

Agostino Martinelli|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 21.

Adaptive Control of Nonlinear Systems참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 변하는 비선형 시스템으로 관측 가능성과 제어 가능성 랭크 조건을 확장하며, 기존의 시간 불변 비선형 및 시간에 따라 변하는 선형 시스템에 대한 조건을 일반화하는 새로운 분석 기준을 도입한다. 제안된 조건은 알고리즘적으로 구현 가능하며, 연료 소모로 인한 질량과 관성 모멘트의 시간에 따라 변하는 상황에서도 일정 추진력 조건 하에서 달의 모듈에 적용되어, 요동을 제외한 약한 국소적 관측 가능성과 약한 국소적 제어 가능성을 입증한다.

ABSTRACT

This paper provides the extension of the observability rank condition and the extension of the controllability rank condition to time-varying nonlinear systems. Previous conditions to check the state observability and controllability, only account for nonlinear systems that do not explicitly depend on time, or, for time-varying systems, they only account for the linear case. In this paper, the general analytic conditions are provided. The paper shows that both these two new conditions (the extended observability rank condition and the extended controllability rank condition) reduce to the well known rank conditions for observability and controllability in the two simpler cases of time-varying linear systems and time-invariant nonlinear systems. The proposed new conditions work automatically and can deal with any system, independently of its complexity (state dimension, type of nonlinearity, etc). Simple examples illustrate both these conditions. In addition, the two new conditions are used to study the observability and the controllability properties of a lunar module. For this system, the dynamics exhibit an explicit time-dependence due to the variation of the weight and the variation of the moment of inertia. These variations are a consequence of the fuel consumption. To study the observability and the controllability properties of this system, the extended observability rank condition and the extended controllability rank condition introduced by this paper are required. The paper shows that, even under the constraint that the main rocket engine delivers constant power, the state is weakly locally controllable. Additionally, it is weakly locally observable up to the yaw angle.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변하는 비선형 시스템에서 약한 국소적 관측 가능성과 제어 가능성에 대한 일반적인 분석 조건의 부족을 해결한다.
• 고전적인 관측 가능성과 제어 가능성 랭크 조건을 명시적인 시간 의존성을 가진 시스템으로 확장한다.
• 선형 시간에 따라 변하는 시스템과 시간 불변 비선형 시스템의 경우에 기존 조건으로 축소되는 통합된 프레임워크를 제공한다.
• 항공우주 차량과 같은 시간에 따라 변하는 매개변수를 가진 실제 시스템의 체계적 분석을 가능하게 한다.
• 연료 소모로 인한 질량과 관성 모멘트의 변화가 있는 달의 모듈 사례 연구를 통해 방법의 적용 가능성을 입증한다.

제안 방법

• 시간에 따라 변하는 시스템에 적합하게 조정된 관측 가능 코분포지션의 시간 도함수와 리 도함수를 기반으로 한 확장된 관측 가능성 랭크 조건을 도입한다.
• 시간에 따라 변하는 벡터장 다룰 수 있도록 표기된 새로운 시간 의존 리 도함수 연산자 $\widetilde{\mathcal{L}}_f$ 를 정의한다.
• 시간 도함수와 $\widetilde{\mathcal{L}}_f$ 를 반복 적용하여 관측 가능 코분포지션을 계산하는 반복 알고리즘을 제안한다.
• 시간에 따라 변하는 동역학을 고려하기 위해 새로운 브라켓 연산 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 을 사용한 확장된 제어 가능성 랭크 조건을 개발한다.
• 각 단계에서 관측 가능 코분포지션과 제어 가능 분포의 생성자를 생성하는 재귀적 알고리즘을 통해 조건을 구현한다.
• 간단한 예시와 실제 항공우주 응용 사례(연료 소모로 인한 질량과 관성 모멘트의 시간에 따라 변하는 달의 모듈 포함)를 통해 방법을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적인 관측 가능성 랭크 조건은 시간에 따라 변하는 비선형 시스템으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 비선형 시간에 따라 변하는 시스템에 대해 제어 가능성 랭크 조건의 대응 확장이 존재하는가?
• RQ3 새로운 조건은 선형 시간에 따라 변하는 시스템과 시간 불변 비선형 시스템의 경우에 어떻게 알려진 결과로 축소되는가?
• RQ4 새로운 조건은 시간에 따라 변하는 매개변수를 가진 실제 항공우주 시스템에 얼마나 널리 적용될 수 있는가?
• RQ5 연료 소모로 인해 질량과 관성 모멘트가 시간에 따라 변하는 달의 모듈의 관측 가능성과 제어 가능성 특성은 무엇인가?

주요 결과

• 확장된 관측 가능성 랭크 조건은 시스템의 시간에 따라 변하는 질량과 관성으로 인해 요동 각도를 제외한 달의 모듈에 대해 약한 국소적 관측 가능성을 성공적으로 식별한다.
• 확장된 제어 가능성 랭크 조건은 주로로켓 엔진이 일정한 출력을 유지하는 동안에도 달의 모듈의 약한 국소적 제어 가능성을 확인한다.
• 이륙 및 착륙 중 절대 척도의 관측 가능성은 질량 변화의 직접적인 결과임을 입증한 두 번째 이륙/착륙 분석 시나리오에서 보여진다.
• 제안된 조건은 알고리즘적으로 구현 가능하며, 선형 시간에 따라 변하는 시스템과 시간 불변 비선형 시스템의 경우 표준 랭크 조건으로 정확히 축소된다.
• 이 방법은 단순화된 가정이나 선형화 없이도 복잡한 비선형 시간에 따라 변하는 시스템의 분석을 가능하게 한다.
• 결과적으로 새로운 조건은 일반적이면서 실용적이며, 임의의 복잡성과 비선형성을 가진 시스템에 적용 가능하다.