[논문 리뷰] Rank-metric codes over arbitrary Galois extensions and rank analogues of Reed-Muller codes

Daniel Augot, Alain Couvreur외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 25.

Coding theory and cryptography참고 문헌 29인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 $ G = \mathrm{Gal}(\mathbb{L}/\mathbb{K}) $ 일 때 군 대수 $ \mathbb{L}[G] $ 의 부분공간으로서 모델링함으로써 임의의 갈로아 확장에 대한 랭크-메트릭 코드의 프레임워크를 제안한다. 다변수 스칼라 다항식을 사용하여 레이드–멀러 코드의 랭크-메트릭 버전을 구성하고, 스칼라 다항식의 영점 수에 대한 경계를 제공하는 알론–퓌레디 정리의 랭크-메트릭 버전을 수립한다.

ABSTRACT

This paper extends the study of rank-metric codes in extension fields $\\mathbb{L}$ equipped with an arbitrary Galois group $G = \\mathrm{Gal}(\\mathbb{L}/\\mathbb{K})$. We propose a framework for studying these codes as subspaces of the group algebra $\\mathbb{L}[G]$, and we relate this point of view with usual notions of rank-metric codes in $\\mathbb{L}^N$ or in $\\mathbb{K}^{N\ imes N}$, where $N = [\\mathbb{L} : \\mathbb{K}]$. We then adapt the notion of error-correcting pairs to this context, in order to provide a non-trivial decoding algorithm for these codes. We then focus on the case where $G$ is abelian, which leads us to see codewords as elements of a multivariate skew polynomial ring. We prove that we can bound the dimension of the vector space of zeroes of these polynomials, depending of their degree. This result can be seen as an analogue of Alon-F\\"uredi theorem -- and by means, of Schwartz-Zippel lemma -- in the rank metric. Finally, we construct the counterparts of Reed-Muller codes in the rank metric, and we give their parameters. We also show the connection between these codes and classical Reed-Muller codes in the case where $\\mathbb{L}$ is a Kummer extension.

연구 동기 및 목표

• 임의의 갈로와 군을 사용하여 순환 확장 외의 랭크-메트릭 코드를 일반화하기.
• 랭크-메트릭 코드를 연구하기 위한 군 대수 프레임워크($ \mathbb{L}[G] $) 개발하기.
• 이 일반 설정에서 오류 수정 쌍 이론을 확장하여 디코딩 가능하게 하기.
• 스칼라 다항식 링을 사용하여 레이드–멀러 코드의 랭크-메트릭 유사체를 구성하기.
• 다변수 스칼라 다항식의 영점 집합에 대한 경계를 제공하는 랭크-메트릭 버전의 알론–퓌레디 정리 수립하기.

제안 방법

• 랭크-메트릭 코드를 $ \mathbb{L}[G] $ 의 부분공간으로 표현함으로써 $ \mathrm{End}_{\mathbb{K}}(\mathbb{L}) \cong \mathbb{L}[G] $ 의 동형을 활용한다.
• 오류 수정 쌍 기법을 일반 갈로와 확장 설정에서 디코딩이 가능하도록 적응시킨다.
• G 가 아벨일 때, 코드어를 다변수 스칼라 다항식 링의 원소로 모델링한다.
• 갈로와 군의 구조를 이용하여 레이드–멀러 코드와 유사한 평가 기반 코드를 정의한다.
• 스칼라 다항식의 영점 수에 대한 경계를 스칼라 다항식 링의 랭크-메트릭 버전의 스웨츠–지펠 렘마를 사용하여 수립한다.
• $ \mathbb{K} $ 에서의 원주율의 근을 사용하여 저차수 단항식의 평가를 통해 $ \bm{\theta} $-레이드–멀러 코드를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 군 대수 구조를 사용하여 임의의 갈로와 확장에서 랭크-메트릭 코드를 체계적으로 연구할 수 있는가?
• RQ2 오류 수정 쌍은 순환 갈로와 확장 외의 설정에서 어떻게 일반화되어 디코딩을 가능하게 하는가?
• RQ3 다변수 다항식의 영점 집합에 대한 경계를 제공하는 랭크-메트릭 버전의 알론–퓌레디 정리는 무엇인가?
• RQ4 레이드–멀러 코드는 해밍-메트릭과 유사한 매개변수를 갖는 랭크-메트릭에서 구성될 수 있는가?
• RQ5 $ \mathbb{L} $ 가 쿠머 확장일 때, $ \bm{\theta} $-레이드–멀러 코드와 고전적 레이드–멀러 코드 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 임의의 갈로와 확장 $ \mathbb{L}/\mathbb{K} $ 에 대한 랭크-메트릭 코드는 군 대수 $ \mathbb{L}[G] $ 의 부분공간으로 자연스럽게 표현될 수 있다.
• 저자들은 $ \theta_i $ 의 총 차수 $ \leq r $ 인 단항식에 의해 생성되는 $ \mathbb{L} $-부분공간으로서 $ \bm{\theta} $-레이드–멀러 코드를 구성하였으며, 고전적 레이드–멀러 코드와 유사한 매개변수를 갖는다.
• 다변수 스칼라 다항식의 영점 수에 대한 경계를 제공하는 랭크-메트릭 버전의 알론–퓌레디 정리가 수립되었다.
• $ \mathbb{L}/\mathbb{K} $ 가 쿠머 확장일 경우, $ \bm{\theta} $-레이드–멀러 코드는 원주율에 대한 평가를 통해 고전적 레이드–멀러 코드와 동형임을 보였다.
• $ \bm{\theta} $-레이드–멀러 코드의 생성 행렬은 고전적 레이드–멀러 생성 행렬과 $ \mathbb{L} $ 의 $ \mathbb{K} $-기저에서 유도된 대각행렬의 곱임이 밝혀졌다.
• 이 구성은 알려진 매개변수를 갖는 랭크-메트릭 코드를 체계적으로 정의할 수 있는 방법을 제공하지만, 최소 거리의 절반까지의 디코딩은 여전히 열린 문제이다.