[논문 리뷰] Rank one isometries of buildings and quasi-morphisms of Kac-Moody groups

Pierre‐Emmanuel Caprace, Koji Fujiwara|ArXiv.org|2008. 09. 02.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 2인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 임의의 정수환 위의 비기하적 비아핀 Kac–Moody 군이 건물의 계단 일치 등반이나 CAT(0) 공간의 강성 성질을 이용하여 무한차원의 비자명한 준형성사의 공간을 가짐을 증명한다. 주요 결과는 이러한 군들이 무한한 교환자 폭을 갖는다는 것으로, Bardakov 가 제기한 안정적 교환자 길이에 대한 질문을 해결한다.

ABSTRACT

Given an irreducible non-spherical non-affine (possibly non-proper) building $X$, we give sufficient conditions for a group $G < \Aut(X)$ to admit an infinite-dimensional space of non-trivial quasi-morphisms. The result applies to all irreducible (non-spherical and non-affine) Kac-Moody groups over integral domains. In particular, we obtain finitely presented simple groups of infinite commutator width, thereby answering a question of Valerii G. Bardakov from the Kourovka notebook. Independently of these considerations, we also include a discussion of rank one isometries of proper CAT(0) spaces from a rigidity viewpoint. In an appendix, we show that any homogeneous quasi-morphism of a locally compact group with integer values is continuous.

연구 동기 및 목표

• 건물 위에 작용하는 군이 비자명한 준형성사의 무한차원 공간을 갖는 조건을 규명하는 것.
• Kac–Moody 군의 안정적 교환자 길이와 교환자 폭에 관해 오랫동안 남아있던 질문을 다루는 것.
• 정수 값을 갖는 동차 준형성사에 대한 국소 콪트 군에서의 강성 결과를 확립하는 것.
• 비국소 콱트이거나 비하이퍼볼릭 환경으로의 유계 코hom로지 및 준형성사 이론의 이해를 확장하는 것.

제안 방법

• 기하학적 및 군론적 강성 성질을 이용해 적절한 CAT(0) 공간 내 계단 일치 이sov메트리의 분석.
• 아파트에서의 Weyl-전이성 및 코컴팩트 안정자 조건을 적용하여 무한차원 준형성사 공간을 도출.
• 비기하적 비아핀 건물의 구조 및 그 자동군의 구조를 이용.
• Bavard 정리를 통해 유계 코호몰로지와 안정적 교환자 길이 사이의 연결 고리를 적용.
• 정수 값을 갖는 국소 콱트 군 위의 준형성사에 대한 동질성 및 연속성 논증을 활용.
• 모든 국소 콱트 군에서 ℤ로의 동차 준형성사는 연속적임을 증명하기 위해 프로파킷 및 리 군의 구조 이론을 활용.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 건물 위의 어떤 군 작용에서 비자명한 준형성사의 공간이 무한차원이 되는가?
• RQ2 정수환 위의 Kac–Moody 군이 무한한 교환자 폭을 갖는다는 것을 보일 수 있는가?
• RQ3 정수 값을 갖는 동차 준형성사가 국소 콱트 군에서 어떻게 강성 성질을 보이는가?
• RQ4 CAT(0) 공간 내 계단 일치 이sov메트리가 비자명한 준형성사의 존재를 어떻게 제약하는가?
• RQ5 Weyl-전이성 또는 코컴팩트 안정자 작용이 아파트에서 무한차원 준형성사 공간을 유도하는 데까지 어느 정도의 정도로 영향을 미치는가?

주요 결과

• 임의의 군 $ G < \mathrm{Aut}(X) $ 가 비기하적 비아핀 비건물 $ X $ 에 작용할 때, 작용이 Weyl-전이적이거나 어떤 아파트의 안정자가 코컴팩트로 작용하면, $ \widetilde{\mathrm{QH}}(G) $ 는 무한차원이다.
• 모든 비기하적 비아핀 비건물 Kac–Moody 군은 정수환 위에서 무한차원의 비자명한 준형성사 공간을 갖는다.
• 이러한 Kac–Moody 군은 엄밀히 양의 안정적 교환자 길이를 갖는 원소를 지닌다. 이는 무한한 교환자 폭을 의미한다.
• 만약 $ X $ 가 국소 콱트이면, $ \mathrm{Aut}(X) $ 위의 연속적 비자명 준형성사 공간은 무한차원이다.
• 모든 국소 콱트 군에서 $ \mathbb{Z} $ 로의 동차 준형성사는 연속적이다. 이 결과는 컴팩트 및 리 군의 구조 이론을 통해 증명되었다.
• 임의의 동차 준형성사의 제한은 프로파킷 또는 연결된 국소 콱트 군에서 $ \mathbb{Z} $ 로의 값으로 삼을 때 자명하며, 이는 연속성을 의미한다.